Konvergente Folgen

In der mathematischen Analysis spielt folgendes anschauliche Prinzip eine tragende Rolle:

Ist x₀, x₁, …, x_n, …, n  ∈  ℕ, eine Folge reeller Zahlen, deren Glieder immer dichter beieinander liegen, so nähert sich diese Folge einer eindeutig bestimmten reellen Zahl an, dem sog. Grenzwert der Folge.

Diese Anschauung besitzt zwei vage Bestandteile: Zum einen die „Verdichtung“ einer Folge und zum anderen ihre „Annäherung“ an eine Zahl. Die Verdichtungseigenschaft präzisieren wir wie folgt, ohne dabei einen Grenzwertbegriff zu verwenden:

Definition (Cauchyfolge)

Eine Folge 〈 x_n | n  ∈  ℕ 〉 in ℝ heißt eine Cauchyfolge, falls gilt:

∀ε > 0 ∃n₀ ∀n, m ≥ n₀ |x_n − x_m| < ε. (Cauchybedingung)

Die Annäherung einer Folge an eine reelle Zahl können wir durch eine ganz ähnliche Bedingung zum Ausdruck bringen:

Definition (konvergente Folge, Grenzwert)

Eine Folge 〈 x_n | n  ∈  ℕ 〉 in ℝ konvergiert, falls ein x  ∈  ℝ existiert, sodass gilt:

∀ε > 0 ∃n₀ ∀n ≥ n₀ |x_n − x| < ε. (Konvergenzbedingung)

In diesem Fall heißt dann x ein Grenzwert der Folge.

Man kann leicht sehen, dass eine konvergente Folge eine Cauchyfolge ist, und dass ein Grenzwert im Falle der Existenz eindeutig bestimmt ist. Im Falle der Existenz schreiben wir dann

lim(〈 x_n | n  ∈  ℕ 〉), lim_n → ∞ x_n, lim_{n  ∈  ℕ} x_n oder lim_n x_n

für den eindeutig bestimmten Grenzwert x der Folge 〈 x_n | n  ∈  ℕ 〉.

Damit können wir nun obiges Prinzip präzise formulieren und beweisen:

Satz (Konvergenz von Cauchyfolgen in ℝ)

Jede Cauchyfolge in ℝ konvergiert.

Beweis

Sei 〈 x_n | n  ∈  ℕ 〉 eine Cauchyfolge in ℝ. Wir finden den Grenzwert dieser Folge mit Hilfe von Suprema und Infima. Die Menge { x_n | n  ∈  ℕ } ist beschränkt (!), und damit können wir für alle n  ∈  ℕ definieren:

y_n = sup({ x_m | m ≥ n }).

Dann gilt y₀ ≥ y₁ ≥ … ≥ y_n ≥ … und { y_n | n  ∈  ℕ } ist beschränkt, denn für alle n gilt x_n ≤ y_n, und damit ist jede untere Schranke von { x_n | n  ∈  ℕ } auch eine untere Schranke von { y_n | n  ∈  ℕ }. Also existiert

x* = inf ({ y_m | m  ∈  ℕ }).

Wir zeigen, dass lim_{n  ∈  ℕ} x_n = x*. Sei hierzu ε > 0 beliebig. Sei n₀ derart, dass |x_n − x_m| < ε/2 für alle n, m ≥ n₀. Weiter sei n₁ ≥ n₀ derart, dass y_n₁ − x* < ε/2. Nach Definition von y_n₁ gibt es ein n₂ ≥ n₁ mit y_n₁ − x_n₂ ≤ ε/2. Dann gilt:

(+) |x* − x_n₂| ≤ ε/2.

Denn es gilt x* ≤ x_n₂ ≤ y_n₁ oder x_n₂ ≤ x* ≤ y_n₁. Im ersten Fall folgt (+) aus y_n₁ − x* ≤ ε/2, im zweiten aus y_n₁ − x_n₂ ≤ ε/2. Für alle n ≥ n₂ gilt dann wegen (+) und n, n₂ ≥ n₀:

|x* − x_n| = |x* − x_n₂ + x_n₂ − x_n| ≤ |x* − x_n₂| + |x_n₂ − x_n| ≤ ε/2 + ε/2 = ε.

Der Beweis motiviert die folgenden Begriffe:

Definition (Limes Inferior, Limes Superior)

Sei 〈 x_n | n  ∈  ℕ 〉 eine beschränkte Folge in ℝ (d. h. { x_n | n  ∈  ℕ } ist beschränkt).

Dann definieren wir:

liminf (〈 x_n | n  ∈  ℕ 〉) = sup({ inf ({ x_m | m ≥ n }) | n  ∈  ℕ }),

limsup(〈 x_n | n  ∈  ℕ 〉) = inf ({ sup({ x_m | m ≥ n }) | n  ∈  ℕ }).

Die reelle Zahl liminf (〈 x_n | n  ∈  ℕ 〉) heißt der Limes Inferior der Folge und limsup(〈 x_n | n  ∈  ℕ 〉) ihr Limes Superior.

Wir verwenden auch die suggestive Notation

liminf_{n  ∈  ℕ} x_n = sup_{n  ∈  ℕ} inf_m ≥ n x_m, limsup_{n  ∈  ℕ} x_n = inf_{n  ∈  ℕ} sup_m ≥ n x_m.

Diese Werte haben eine sehr anschauliche Bedeutung: Wir bilden zunächst das Infimum der Folge. Nun streichen wir das erste Folgenglied und korrigieren unser Infimum evtl. nach oben. Danach streichen wir auch das zweite Folgenglied und korrigieren unser Infimum, usw. Der Grenzwert der so korrigierten Infima ist der Limes Inferior der Folge. Analog erhalten wir den Limes Superior, wenn wir das Supremum der Folge iteriert durch Streichen von Elementen der Folge absenken.

Offenbar gilt für alle beschränkten Folgen 〈 x_n | n  ∈  ℕ 〉:

liminf_{n  ∈  ℕ} x_n ≤ limsup_{n  ∈  ℕ} x_n.

Der Fall der Gleichheit der beiden Werte verdient eine Formulierung als Satz:

Satz (Limes als Limes Inferior und als Limes Superior)

Sei 〈 x_n | n  ∈  ℕ 〉 eine beschränkte Folge in ℝ. Dann sind äquivalent:

(a)	〈 x_n \| n  ∈  ℕ 〉 konvergiert.

(b)	liminf_{n  ∈  ℕ} x_n = limsup_{n  ∈  ℕ} x_n.

In diesem Fall gilt dann lim_{n  ∈  ℕ} x_n = liminf_{n  ∈  ℕ} x_n = limsup_{n  ∈  ℕ} x_n.

Der Beweis sei dem Leser zur Übung überlassen.

In Spezialfällen kann der Limes einer Folge einfacher ausgedrückt werden. Eine Folge 〈 x_n | n  ∈  ℕ 〉 heißt monoton wachsend, falls x_n ≤ x_n + 1 für alle n  ∈  ℕ gilt, und streng monoton wachsend, falls x_n < x_n + 1 für alle n  ∈  ℕ gilt. Analog sind monoton fallende und streng monoton fallende Folgen definiert. Ist nun 〈 x_n | n  ∈  ℕ 〉 monoton wachsend und beschränkt, so gilt

lim_{n  ∈  ℕ} x_n = sup({ x_n | n  ∈  ℕ }).

Analog ist inf ({ x_n | n  ∈  ℕ }) der Grenzwert einer monoton fallenden beschränkten Folge 〈 x_n | n  ∈  ℕ 〉.