Abzählbare Wahrscheinlichkeitsräume

Einfache Zufallsexperimente können wir durch eine Funktion ν : A → [ 0, 1 ] modellieren, die den Elementen a einer gewissen abzählbaren Menge A von „Stichproben“ oder „Ergebnissen“ einen Wert ν(a) so zuweist, dass sich alle Werte zu 1 aufsummieren. Der Wert ν(a) heißt dann die Wahrscheinlichkeit von a bei ν. Allgemeiner können wir dann auch von der Wahrscheinlichkeit μ(B) eines beliebigen „Ereignisses“ B ⊆ A reden, indem wir alle ν(a), a  ∈  B, aufsummieren. Der Wurf eines fairen Würfels kann in dieser Weise durch A = { 1, …, 6 } und ν(a) = 1/6 für alle a  ∈  A modelliert werden. Dann gilt μ(„die Augenzahl ist gerade“) = μ({ 2, 4, 6 }) = ν(2) + ν(4) + ν(6) = 1/2, usw.

Wir definieren:

Definition (abzählbare Verteilungen der Eins)

Sei A eine abzählbare Menge. Eine Funktion ν : A → [ 0, 1 ] ⊆ ℝ heißt eine Verteilung der Eins auf A, falls ∑_{a  ∈  A} ν(a) = 1.

Hier und im folgenden verwenden wir, dass wir abzählbar unendlich viele nichtnegative reelle Zahlen in beliebiger Reihenfolge anordnen können, ohne dass dies das Konvergenzverhalten und den Grenzwert der zugehörigen unendlichen Reihe verändern würde. Ist nämlich ∑_{n  ∈  ℕ} x_n eine konvergente Reihe reeller Zahlen mit x_n ≥ 0 für alle n  ∈  ℕ, so gilt für jede Bijektion π : ℕ → ℕ, dass

∑_{n  ∈  ℕ} x_n =	sup({ ∑_{n  ∈  E} x_n \| E ⊆ ℕ endlich }) =
	sup({ ∑_{n  ∈  F} x_π(n) \| F ⊆ ℕ endlich }) = ∑_{n  ∈  ℕ} x_π(n).

Ist also X eine abzählbar unendliche Menge nichtnegativer Zahlen, so können wir ∑_{x  ∈  X} x definieren als ∑_{n  ∈  ℕ} f (n) für eine beliebige Bijektion f : ℕ → X, vorausgesetzt, die Reihe ∑_{n  ∈  ℕ} f (n) konvergiert. Ist g eine reellwertige Funktion auf einer beliebigen abzählbar unendlichen Menge A mit g(x) ≥ 0 für alle x  ∈  A, so ist analog ∑_{a  ∈  A} g(a) definiert als ∑_{n  ∈  ℕ} g(π(n)) mit einer beliebigen Bijektion π : ℕ → A.

Eine Verteilung der Eins auf einer Menge induziert nun das folgende Gewicht von beliebigen Teilmengen der Menge:

Definition (abzählbares Wahrscheinlichkeitsmaß)

Sei ν eine Verteilung der Eins auf der abzählbaren Menge A.

Für alle B ⊆ A setzen wir:

μ(B) = ∑_{b  ∈  B} ν(b).

Dann heißt μ : ℘(A) → [ 0, 1 ] das durch ν induzierte (Wahrscheinlichkeits-) Maß auf A und (A, ℘(A), μ) ein (abzählbarer) Wahrscheinlichkeitsraum.

Die Menge A heißt Grundmenge oder Ergebnisraum und ihre Elemente nennen wir Elementarereignisse oder Stichproben. Die Menge ℘(A) heißt Ereignisraum und für jedes B  ∈  ℘(A) heißt μ(B) die μ-Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B.

Statt (A, ℘(A), μ) schreiben wir oft einfach auch (A, μ). Bei dieser Schreibweise ist A immer als abzählbar vorausgesetzt. Zur Definition von (A, μ) genügt es, eine abzählbare Grundmenge A und eine Verteilung ν der Eins auf A anzugeben.

Einige Beispiele und Konstruktionsmethoden für Wahrscheinlichkeitsräume diskutieren wir in den folgenden Zwischenabschnitten sowie in den Übungen.

Einfache Modellbildungen

Einen fairen Münzwurf können wir durch A = { 0, 1 } und ν(0) = ν(1) = 1/2 modellieren, wobei „0“ für „Kopf“ und „1“ für „Zahl“ steht. Ist μ das von ν induzierte Wahrscheinlichkeitsmaß auf ℘(A), so gilt

μ(∅) = 0, μ({ 0 }) = μ({ 1 }) = 1/2, μ({ 0, 1 }) = 1.

Ist A = { 1, …, 6 }, so induziert die Verteilung ν : A → [ 0, 1 ] mit ν(a) = 1/6 für alle a  ∈  A einen Wahrscheinlichkeitsraum (A, μ), den wir als ein geeignetes mathematisches Modell für den Wurf eines ungezinkten Würfels ansehen. Es gilt dann μ({ 1, 2 }) = 1/3, μ(A − { 1 }) = 5/6, usw. Allgemeiner eignen sich alle fünf platonischen Körper für „würfelnde“ Zufallsexperimente, deren mathematische Verteilungen durch ν₄(a) = 1/4, ν₆(a) = 1/6, ν₈(a) = 1/8, ν₁₂(a) = 1/12 und ν₂₀(a) = 1/20 für alle Elementarereignisse a bestimmt sind.

Wirft man eine Münze und einen Würfel, so ist A = { 0, 1 } × { 1, …, 6 } ein geeigneter Ergebnisraum. Sind dabei Münze und Würfel fair, so induziert die Verteilung „ν(a) = 1/12 für alle a  ∈  A“ den passenden Wahrscheinlichkeitsraum. Der Wurf eines Dodekaeders lässt sich also durch dieses Experiment simulieren.

Werfen wir zwei faire Würfel und betrachten die Summe der Augen, so ist, wie man sich leicht überlegt, die Ergebnismenge S = { 2, …, 12 } und die folgende Verteilung ν zur Modellierung geeignet:

ν(2) = ν(12) = 1/36, ν(3) = ν(11) = 2/36, ν(4) = ν(10) = 3/36,

ν(5) = ν(9) = 4/36, ν(6) = ν(8) = 5/36, ν(7) = 6/36.

Der Ansatz hinter diesen Berechnungen ist, den zweifachen Würfelwurf zunächst durch die Ergebnismenge A = { 1, …, 6 }² und die Verteilung ν(a₁, a₂) = 1/36 für alle (a₁, a₂)  ∈  A zu beschreiben und dann das „Zufallsverhalten“ der Funktion f : A → ℝ mit f(a₁, a₂) = a₁ + a₂ für alle (a₁, a₂)  ∈  A zu untersuchen. Diese Überlegung führt zu den so genannten Zufallsvariablen, die wir unten genauer betrachten.

Urnenmodelle

Eine ganze Familie von Zufallsexperimenten liefert das Ziehen aus einer Urne. Wir ziehen nacheinander k Kugeln aus einer Urne mit n Kugeln, die mit den Zahlen 1, 2, …, n beschriftet sind. Hier ist zu unterscheiden, ob die Kugeln nach dem Ziehen zurückgelegt werden und ob die Reihenfolge für das Ergebnis der Ziehung eine Rolle spielt. Wir diskutieren die vier sich ergebenden Varianten in den Übungen. Dabei spielen die folgenden Werte eine wichtige Rolle:

\|A\|	= „die Anzahl der Elemente von A“, (Betrag oder Mächtigkeit von A )
n!	= 1 · … · n, mit 0! = 1, (n-Fakultät)
$( \binom{n}{k} )$	= n!/(k! · (n − k)!), (Binomialkoeffizienten, „n über k“, „k aus n“)
$( \binom{n}{k_{1}, …, k_{r}} )$	= n!/(k₁! · … · k_r!), (Multinomialkoeffizienten, „n über k₁, …, k_r“)

die für alle endlichen Mengen A und alle n, k, k₁, …, k_r  ∈  ℕ mit 0 ≤ k ≤ n und k₁ + … + k_r = n definiert sind.

Die Binomialkoeffizienten geben an, auf wie viele Arten es möglich ist, k Elemente aus einer Menge mit n Elementen auszuwählen, d. h. $( \binom{n}{k} )$ ist die Anzahl der k-elementigen Teilmengen von { 1, …, n }. Da es genau 2ⁿ Teilmengen der Menge { 1, …, n } gibt, gilt ∑_{0 ≤ k ≤ n} $( \binom{n}{k} )$ = 2ⁿ für alle n.

Analog ist $( \binom{n}{k_{1}, …, k_{r}} )$ die Anzahl der Zerlegungen der Menge { 1, …, n } in Mengen A₁, …, A_r, die genau k₁, …, k_r Elemente enthalten, d. h. es gilt

$( \binom{n}{k_{1}, …, k_{r}} )$ = |{ (A₁, …, A_r) | A_i ∩ A_j = ∅ für i ≠ j, ⋃_{1 ≤ i ≤ r} A_i = { 1, …, n }, |A_i| = k_i für alle i }|.

Damit gibt es also $( \binom{49}{6} )$ Ergebnisse einer Lottoziehung und $( \binom{32}{10, 10, 10, 2} )$ Skatspiele, also Möglichkeiten, 32 Karten auf drei Spieler I, II, III mit je 10 Karten und einen Skat mit zwei Karten zu verteilen.

Die Multinomialkoeffizienten verallgemeinern die Binomialkoeffizienten, denn es gilt $( \binom{n}{k} )$ = $( \binom{n}{k, (n - k)} )$ für alle 0 ≤ k ≤ n. In der Tat entsprechen die k-elementigen Teilmengen von { 1, …, n } den Zerlegungen dieser Menge in zwei Teile mit k und n − k Elementen.

Das Pascalsche Dreieck liefert eine Möglichkeit der rekursiven Berechnung der Binomialkoeffizienten. Die äußeren Werte jeder Zeile sind 1, und jeder andere Wert einer Zeile ist die Summe der beiden über ihm stehenden Werte. Die (n + 1)-te Zeile listet dann die Binomialkoeffizienten $( \binom{n}{0} )$ , $( \binom{n}{1} )$ , …, $( \binom{n}{n} )$ auf.

Die Bezeichnung „Binomial-“ und „Multinomialkoeffizienten“ ist motiviert durch

(x + y)ⁿ = ∑_{0 ≤ k ≤ n} $( \binom{n}{k} )$ x^k y^n − k, (Binomialsatz)

(x₁ + … + x_r)ⁿ = ∑_{0 ≤ k_i ≤ n, k₁ + …+ k_r = n} $( \binom{n}{k_{1}, …, k_{r}} )$ x₁^k₁ · … · x_r^k_r. (Multinomialsatz).

Binomial- und Multinomialverteilungen

Obige Anzahlaussagen können wir auch so formulieren: $( \binom{n}{k} )$ ist die Anzahl der 0-1-Tupel (a₁, …, a_n), die genau k Einsen aufweisen. Denn hat A ⊆ { 1, …, n } genau k Elemente, so formen wir das 0-1-Tupel (a₁, …, a_n) mit a_i = 1 für i  ∈  A und a_i = 0 sonst. Dadurch entsteht eine Bijektion zwischen den k-elementigen Teilmengen von { 1, …, n } und den 0-1-Tupeln (a₁, …, a_n) mit genau k Einsen. Analog ist $( \binom{n}{k_{1}, …, k_{r}} )$ die Anzahl der Tupel (a₁, …, a_n) mit Einträgen in { 1, …, r }, die für alle 1 ≤ i ≤ r genau k_i-oft die Zahl i aufweisen.

Definieren wir also für ein 0 ≤ p ≤ 1 und ein n ≥ 1

b^p_n(k) = $( \binom{n}{k} )$ p^k (1 − p)^n − k für alle 0 ≤ k ≤ n,

so ist b^p_n(k) die Wahrscheinlichkeit, in einem n-fach wiederholten Zufallsexperiment genau k Erfolge zu erzielen, wenn p die Erfolgswahrscheinlichkeit ist. Die Verteilung b^p_n auf { 0, …, n } heißt die Binomialverteilung für n und p.

Interessieren wir uns für r verschiedene Ergebnisse a₁, …, a_r eines Experiments, und hat jedes Ergebnis a_i die Wahrscheinlichkeit p_i, so ist analog

b^{p₁, …, p_r}_n(k₁, …, k_r) = $( \binom{n}{k_{1}, …, k_{r}} )$ p₁^k₁ … p_r^k_r für alle 0 ≤ k_i ≤ n mit k₁ + … + k_r = n

die Wahrscheinlichkeit, bei einer n-fachen Wiederholung des Experiments genau k_i-oft das Ergebnis a_i zu erhalten, für alle 1 ≤ i ≤ r. Die Verteilung b^{p₁, …, p_r}_n heißt die Multinomialverteilung für n und p₁, …, p_r.

Sind also die Tageswahrscheinlichkeiten für „Regen, bewölkt, Sonne“ gleich 1/10, 1/5 bzw. 7/10, so ist die Wahrscheinlichkeit für eine Woche mit einem Regen-, zwei bewölkten und vier Sonnentagen gleich $( \binom{7}{1, 2, 4} )$ · 1/10 · (2/10)² · (7/10)⁴ = (105 · 4 · 7⁴)/10⁷ = 0,1008421, also etwa 10%.

Die Binomialverteilung (und das Pascalsche Dreieck) taucht auch im folgenden Zufallsexperiment auf, dem sog. Galton-Brett: Eine Kugel K fällt in einem wie im Diagramm rechts angeordneten Nagelbrett stufenweise nach unten, und zwar jeweils mit Wahrscheinlichkeit p nach rechts und mit Wahrscheinlichkeit q = (1 − p) nach links. Dann wird die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel in einem der am Ende des Brettes angebrachten Fächer F₀, …, F_n landet, durch die Binomialverteilung b^p_n beschrieben. In unserem Diagramm ist n = 6 und die Wahrscheinlichkeit, bei p = 1/2 im Fach F₃ zu landen, berechnet sich zu $( \binom{6}{3} )$ · 1/2³ · 1/2³ = 20/64. In der Tat führen genau 20 Pfade nach F₃. Sie lassen sich durch 0-1-Tupel (a₁, …, a₆) mit genau drei 1-Einträgen beschreiben, wobei „0“ für „links“ und „1“ für „rechts“ steht.

Normierung von Reihen und geometrische Verteilung

Aus jeder nichttrivialen konvergenten Summe nichtnegativer Zahlen können wir eine Verteilung der Eins durch Normierung erhalten: Ist ∑_{n  ∈  ℕ} a_n = b > 0 für reelle Zahlen a_n ≥ 0, so definiert ν(n) = a_n/b für alle n  ∈  ℕ eine Verteilung der Eins auf ℕ. Ein Beispiel liefert die geometrische Reihe ∑_{n  ∈  ℕ} qⁿ = (1 − q)⁻¹ für ein q mit 0 ≤ q < 1. Wiederholen wir nämlich ein Zufallsexperiment mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1 − q, so ist

ν(n) = qⁿ p

für alle n  ∈  ℕ die Wahrscheinlichkeit, in den ersten n Versuchen einen Misserfolg zu erzielen und danach einen Erfolg. Die Funktion ν heißt die geometrische Verteilung zum Parameter q. In der Tat ist ν die Normierung der geometrischen Reihe.

Gleichverteilungen und Dirac-Maße

Wir definieren nun allgemein:

Definition (Gleichverteilung auf einer endlichen Menge)

Sei A eine nichtleere Menge, und sei ν(a) = 1/|A| für alle a  ∈  A.

Dann heißt das durch ν induzierte Maß die Gleichverteilung auf A.

Jedes Element der Grundmenge A erhält hier das gleiche Gewicht. Für alle B ⊆ A ist μ(B) die Anzahl der Elemente von B geteilt durch die Anzahl der Elemente von A. Andererseits können wir auch einem einzigen Punkt die gesamte Masse zuweisen:

Definition (Dirac-Maß)

Sei A eine beliebige nichtleere Menge, und sei a  ∈  A. Weiter sei

ν(b) = 1, falls b = a, und ν(b) = 0, sonst.

Dann heißt das durch ν induzierte Maß das Dirac-Maß auf A im Punkt a und wird mit δ_{a, A} bezeichnet.

Für das Dirac-Maß δ_{a, A} gilt also δ_{a, A}(B) = 1, falls a  ∈  B, und δ_{a, A}(B) = 0, sonst, für alle B ⊆ A.

Gewichtete Summen und Produkte

Sind ν₁, ν₂ : A → [ 0, 1 ] Verteilungen der Eins, so können wir die Verteilungen mitteln, indem wir ν(a) = ν₁(a)/2 + ν₂(a)/2 für alle a  ∈  A setzen. Statt der Mittelung mit Faktor 1/2 ist eine Mittelung mit Faktoren 1/3 und 2/3 usw. möglich.

Allgemein sei A eine abzählbare Menge und seien ν_n : A → [ 0, 1 ] Verteilungen der Eins für alle n  ∈  ℕ. Weiter sei auch ν : ℕ → [ 0, 1 ] eine Verteilung der Eins. Dann definieren wir

ν*(a) = ∑_{n  ∈  ℕ} ν(n) · ν_n(a) für alle a  ∈  A.

Dass ν* wieder eine Verteilung der Eins auf A ist, folgt aus dem Folgenden auch andernorts oft nützlichen Summationssatz, der das Kommutativ- und Assoziativgesetz für nichtnegative reelle Zahlen ins Unendliche ausdehnt:

Satz (Summationssatz)

Seien x_{n, m} reelle Zahlen mit x_{n, m} ≥ 0 für alle n, m  ∈  ℕ. Weiter sei π : ℕ → ℕ² bijektiv. Es existiere

s* = sup({ ∑_{(n, m)  ∈  E} x_{n, m} | E ⊆ ℕ², E endlich }).

Dann gilt:

(+) ∑_{n  ∈  ℕ} ∑_{m  ∈  ℕ} x_{n, m} = ∑_{m  ∈  ℕ} ∑_{n  ∈  ℕ} x_{n, m} = ∑_{k  ∈  ℕ} x_π(k) = s*.

Beweis

Für alle n₀, m₀, k₀  ∈  ℕ seien

S_{n₀, m₀} = ∑_n ≤ n₀ ∑_m ≤ m₀ x_{n, m}, S′_{n₀, m₀} = ∑_m ≤ m₀ ∑_n ≤ n₀ x_{n, m},

T_k₀ = ∑_k ≤ k₀ x_π(k).

Dann gilt S_{n₀, m₀} = S′_{n₀, m₀} und S_{n₀, m₀}, S′_{n₀, m₀}, T_k₀ ≤ s* für alle n₀, m₀, k₀  ∈  ℕ.

Hieraus folgt ∑_n ≤ n₀ ∑_{m  ∈  ℕ} x_{n, m} ≤ s* für alle n₀ und ∑_m ≤ m₀ ∑_{n  ∈  ℕ} x_{n, m} ≤ s* für alle m₀, und damit dann weiter, dass alle in (+) betrachteten Reihen konvergent und kleinergleich s* sind.

Zum Beweis der anderen Ungleichungen sei E ⊆ ℕ² endlich. Wir wählen dann n* so groß, dass E ⊆ { (n, m)  ∈  ℕ² | n, m ≤ n* } ∩ { π(k) | k ≤ n* }.

Dann gilt ∑_{(n, m)  ∈  E} x_{n, m} ≤ S_{n*, n*}, S′_{n*, n*}, T_n*. Folglich sind alle in (+) betrachteten unendlichen Reihen größergleich s*.

Damit können wir definieren:

Definition (gewichtete Summe von Wahrscheinlichkeitsmaßen)

Sind in obiger Situation μ_n die von den Verteilungen ν_n induzierten Maße, so nennen wir das von ν* induzierte Maß μ* die durch ν gewichtete Summe der μ_n, in Zeichen μ* = ∑_{n  ∈  ℕ} ν(n) μ_n.

Wir modellieren zur Illustration folgende Situation: Ein Spieler wirft eine Münze, entscheidet dann mit Wahrscheinlichkeit 1/2, ob er aufhört oder noch einmal eine Münze wirft, usw. Als Grundmenge A können wir hier die Menge der nichtleeren endlichen 0-1-Folgen wählen, und für das modellierende Wahrscheinlichkeitsmaß gilt

μ({ 0 }) = μ({ 1 }) = 1/4, μ({ 01 }) = μ({ 00 }) = μ({ 10 }) = μ({ 11 }) = 1/16, usw.,

denn das Ereignis 10 entsteht zum Beispiel durch folgenden Ablauf: Der Spieler wirft eine 1, entscheidet sich weiter zu machen, wirft eine 0, und entscheidet sich aufzuhören.

Das Maß μ können wir einfach als gewichtete Summe notieren. Ist τ_n die Gleichverteilung auf den endlichen 0-1-Folgen der Länge n, und τ_n(s) = 0 für alle anderen Folgen s, so gilt μ = ∑_n ≥ 1 1/2ⁿ τ_n.

Als Nächstes betrachten wir Produkte von Wahrscheinlichkeitsräumen. Seien hierzu ν₁ : A → [ 0, 1 ] und ν₂ : B → [ 0, 1 ] Verteilungen der Eins. Weiter sei C = A × B. Wir setzen

ν((a, b)) = ν₁(a) · ν₂(b) für alle a  ∈  A und b  ∈  B.

Dann ist ν eine Verteilung der Eins auf C, und wir können definieren:

Definition (Produkt von Wahrscheinlichkeitsmaßen)

Sind in obiger Situation μ₁ und μ₂ die von ν₁ bzw. ν₂ induzierten Maße, so heißt das von ν induzierte Maß μ das Produkt von μ₁ und μ₂, in Zeichen

μ = μ₁ × μ₂.

Weiter nennen wir (C, μ) den Produktraum von (A, μ₁) und (B, μ₂).

Es gilt dann μ(C) = ∑_{(a, b)  ∈  C} μ₁({ a }) · μ₂({ b }) für alle C ⊆ A × B.

Rekursiv definieren wir μ₁ × … × μ_n + 1 = (μ₁ × … × μ_n) × μ_n + 1 und haben damit beliebig lange endliche Produkte von Wahrscheinlichkeitsmaßen und -räumen zur Verfügung. Diese Produktbildung entspricht der unabhängigen Hintereinanderausführung von Zufallsexperimenten, die durch μ₁, …, μ_n modelliert werden. Speziell gilt der leicht zu zeigende Satz:

Satz (Produkte von Gleichverteilungen)

Seien μ₁, …, μ_n die Gleichverteilungen auf A₁, …, A_n, und sei

μ = μ₁ × … × μ_n.

Dann ist μ die Gleichverteilung auf A = A₁ × … × A_n.

Bildmaße

Wir können ein auf einer Menge A definiertes Wahrscheinlichkeitsmaß μ mit Hilfe von Funktionen auf andere Mengen übertragen:

Definition (Bildmaß)

Sei (A, μ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, und sei T : A → B eine Funktion.

Dann setzen wir:

μ_T(C) = μ({ a  ∈  A | T(a)  ∈  C }) für alle C ⊆ B.

Die Funktion μ_T : ℘(B) → [ 0, 1 ] heißt das Bildmaß von μ bzgl. T und wird auch mit T(μ) oder μ ∘ T⁻¹ bezeichnet.

Es ist leicht zu sehen, dass (B, μ_T) wieder ein Wahrscheinlichkeitsraum ist. Das Maß μ_T wird zudem induziert von der Verteilung ν_T : B → [ 0, 1 ] der Eins auf B mit ν_T(b) = μ(T^− 1({ b })) für alle b  ∈  B.

Ist (A, μ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sind T : A → B sowie S : B → C Funktionen, so gilt μ_S ∘ T = (μ_T)_S, oder, in den beiden alternativen Notationen, (S ∘ T) (μ) = S(T(μ)) bzw. μ ∘ (S ∘ T)⁻¹ = (μ ∘ T^{− 1}) ∘ S⁻¹.

Ist (A × B, μ) der Produktraum von (A, μ₁) und (B, μ₂), so ist μ₁ das Bildmaß der Projektion pr₁ : A × B → A mit pr₁((a, b)) = a für alle (a, b)  ∈  A × B. Denn für alle C ⊆ A × B ist

μ_pr₁(C) = μ({ (a, b)  ∈  A × B | pr₁((a, b))  ∈  C }) = μ({ (a, b)  ∈  A × B | a  ∈  C }) = μ(C × B) = ∑_{(a, b)  ∈  C × B} μ₁({ a }) μ₂({ b }) = μ₁(C) · μ₂(B) = μ₁(C) · 1 = μ₁(C).

Analog ist μ₂ das Bildmaß der Projektion pr₂ : A × B → B mit pr₂((a, b)) = b für alle (a, b)  ∈  A × B.