Lösungen zu den Übungen
Übung 1
Erstellen Sie eine Wahrheitstafel für die Aussage
A → B ↔ ¬ B → ¬ A
Welcher Typ Aussage liegt vor? Illustrieren Sie die Aussage durch ein mathematisches und ein umgangssprachliches Beispiel.
Lösung zur Übung 1
A | → | B | ↔ | ¬ | B | → | ¬ | A |
w | w | w | w | f | w | w | f | w |
w | f | f | w | w | f | f | f | w |
f | w | w | w | f | w | w | w | f |
f | w | f | w | w | f | w | w | f |
| 1 |
| 5 | 2 |
| 4 | 3 |
|
Die Ergebnisspalte 5 ist durchgängig mit „w“ gefüllt. Die Aussage ist also eine Tautologie. Sie ist als Kontrapositionsgesetz bekannt.
mathematisches Beispiel: Für eine reelle Funktion f : ℝ → ℝ betrachten wir die Aussagen:
A = „f ist differenzierbar.“
B = „f ist stetig.“
Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
A → B = „Wenn f differenzierbar ist, so ist f stetig.“
¬ B → ¬ A = „Wenn f nicht stetig ist, so ist f nicht differenzierbar.“
umgangssprachliches Beispiel: Wir betrachten die Aussagen:
A = „Ich habe gut geschlafen.“
B = „Ich bin gut gelaunt.“
Die folgenden Aussagen sind äquivalent (mit „schlecht“ = „nicht gut“):
A → B = „Wenn ich gut geschlafen habe, bin ich gut gelaunt.“
¬ B → ¬ A = „Wenn ich schlecht gelaunt bin, habe ich schlecht geschlafen.“
Übung 2
Wir haben gezeigt, dass A → B ↔ ¬ A ∨ B eine Tautologie ist. Diese Äquivalenz zeigt, dass sich der Junktor → mit Hilfe der Junktoren ¬, ∨ definieren lässt. Definieren Sie in analoger Weise
(a) | den Junktor ∨ mit Hilfe der Junktoren ¬, ∧, |
(b) | den Junktor ∧ mit Hilfe der Junktoren ¬, ∨, |
(c) | den Junktor ↔ mit Hilfe der Junktoren ∧, →. |
Überprüfen Sie Ihre Definitionen jeweils durch eine Wahrheitstafel.
Lösung zur Übung 2
zu (a):
Wir definieren A ∨ B durch ¬ (¬ A ∧ ¬ B). Dies ergibt die Wahrheitstafel für die Disjunktion:
¬ | ( ¬ | A | ∧ | ¬ | B) |
w | f | w | f | f | w |
w | f | w | f | w | f |
w | w | f | f | f | w |
f | w | f | w | w | f |
4 | 1 |
| 3 | 2 |
|
zu (b):
Wir definieren A ∧ B durch ¬ (¬ A ∨ ¬ B). Dies ergibt die Wahrheitstafel für die Konjunktion:
¬ | ( ¬ | A | ∨ | ¬ | B) |
w | f | w | f | f | w |
f | f | w | w | w | f |
f | w | f | w | f | w |
f | w | f | w | w | f |
4 | 1 |
| 3 | 2 |
|
zu (c):
Wir definieren A ↔ B durch (A → B) ∧ (B → A). Dies ergibt die Wahrheitstafel für die Äquivalenz:
( A | → | B ) | ∧ | ( B | → | A ) |
w | w | w | w | w | w | w |
w | f | f | f | f | w | w |
f | w | w | f | w | f | f |
f | w | f | w | f | w | f |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
|
Übung 3
Geben Sie Aussagen A, B, C an mit den beiden Eigenschaften:
(1) | Die Aussagen A ∧ B, A ∧ C, B ∧ C sind erfüllbar. |
(2) | Die Aussage A ∧ B ∧ C ist nicht erfüllbar. |
(Die Aussagen A, B, C können dabei mathematische oder umgangssprachliche Aussagen sein oder auch nur aus Aussagensymbolen A1, A2, … aufgebaut sein.) Begründen Sie, dass Ihre Aussagen die Eigenschaften (1) und (2) haben.
Lösung zur Übung 3
Gesucht sind drei Aussagen, die paarweise erfüllbar sind, aber nicht alle zusammen. Wir betrachten hierzu die mit drei Aussagensymbolen A1, A2 und A3 gebildeten Aussagen:
A = A1 ∧ (¬ A2 ∨ ¬ A3)
B = A2 ∧ (¬ A1 ∨ ¬ A3)
C = A3 ∧ (¬ A1 ∨ ¬ A2)
Jede der Aussagen fordert, dass eines der Aussagensymbole wahr ist, mindestens eines der beiden anderen aber falsch. Damit sind A, B, C wie gewünscht:
Die Belegung A1 : w, A2 : w, A3 : f zeigt, dass A ∧ B erfüllbar ist.
Die Belegung A1 : w, A2 : f, A3 : w zeigt, dass A ∧ C erfüllbar ist.
Die Belegung A1 : f, A2 : w, A3 : w zeigt, dass B ∧ C erfüllbar ist.
Dagegen ist A ∧ B ∧ C nicht erfüllbar. Denn ist A ∧ B wahr, so sind A1 und A2 wahr, sodass C falsch ist. (Dies lässt sich auch anhand einer Wahrheitstafel mit acht Zeilen überprüfen.)
Die Aussagensymbole lassen sich nun durch mathematische oder umgangssprachliche Aussagen ersetzen. Etwa:
A1 = „Montag regnet es.“
A2 = „Dienstag regnet es.“
A3 = „Mittwoch regnet es.“
Dann gilt (mit „es ist schön“ = „es regnet nicht“):
A = „Montag regnet es, aber Dienstag oder Mittwoch ist es schön.“
B = „Dienstag regnet es, aber Montag oder Mittwoch ist es schön.“
C = „Mittwoch regnet es, aber Montag oder Dienstag ist es schön.“
Die drei Aussagen sind paarweise erfüllbar, aber nicht alle zusammen.
Übung 4
Sie stehen vor zwei Türen. Hinter der einen Tür ist ein Schatz, hinter der anderen eine Ziege. Zwischen den beiden Türen sitzt ein allwissender logisch gebildeter Zwerg. Der Zwerg hat die Eigenschaft, stets zu lügen oder stets die Wahrheit zu sagen. Sie dürfen dem Zwerg genau eine aussagenlogische Ja-Nein-Frage stellen, um zu erfahren, wo der Schatz ist. Welche Frage stellen Sie? Begründen Sie, dass Sie durch die Ja-Nein-Antwort auf Ihre Frage ermitteln können, wo der Schatz ist (unabhängig davon, ob er links oder rechts ist und ob der Zwerg lügt oder die Wahrheit sagt).
Ein Beispiel für eine Frage, die Sie stellen könnten, ist: „Ist der Schatz links und bist Du ein Lügner?“
Lösung zur Übung 4
Wir stellen die Frage:
„Lügst Du genau dann, wenn der Schatz links ist?“
Wir betrachten vier Fälle:
1. Fall: Der Zwerg lügt und der Schatz ist links.
Die korrekte Antwort auf die Frage ist „ja“ (die Wahrheitswerte der beiden durch die Äquivalenz verbundenen Aussagen stimmen überein). Nachdem der Zwerg lügt, antwortet er mit „nein“.
2. Fall: Der Zwerg lügt und der Schatz ist rechts.
Die korrekte Antwort auf die Frage ist „nein“ (die Wahrheitswerte sind verschieden). Nachdem der Zwerg lügt, antwortet er mit „ja“.
3. Fall: Der Zwerg sagt die Wahrheit und der Schatz ist links.
Die korrekte Antwort auf die Frage ist „nein“ (die Wahrheitswerte sind verschieden). Nachdem der Zwerg die Wahrheit sagt, antwortet er mit „nein“.
4. Fall: Der Zwerg sagt die Wahrheit und der Schatz ist rechts.
Die korrekte Antwort auf die Frage ist „ja“ (die Wahrheitswerte stimmen überein). Nachdem der Zwerg die Wahrheit sagt, antwortet er mit „ja“.
Damit wissen wir: Antwortet der Zwerg auf unsere Frage mit „ja“, so ist der Schatz rechts. Antwortet er dagegen mit „nein“, so ist der Schatz links.
Bemerkung: Auch die Frage
„Bist Du entweder ein Lügner oder ist der Schatz links?“
führt zum Ziel (mit einem „exklusiven oder“ ⩒, das den Wahrheitswert f besitzt, wenn beide verbundenen Aussagen den Wert w haben). Da ¬(A ↔ B) ↔ (A ⩒ B) eine Tautologie ist, ist die zweite Frage äquivalent zur Verneinung der ersten.