Die Komprehension
Definition (Komprehension)
Ein Ausdruck A = { a | ℰ(a) } bedeutet:
A ist die Menge aller Objekte a mit der Eigenschaft ℰ(a).
Die folgenden Aussagen sind nach Definition gleichwertig:
(1) | A = { a | ℰ(a) }. |
(2) | Für alle a gilt: a ∈ A genau dann, wenn ℰ(a). |
Endliche Mengenbildungen können wir als Komprehensionen auffassen. Für alle Objekte a1, …, an setzen wir:
∅ = { } = { a | a ≠ a }(leere Menge)
{ a } = { x | x = a }(Einermenge)
{ a, b } = { x | x = a oder x = b }(Paarmenge)
{ a1, …, an } = { x | x = a1 oder … oder x = an }(Aufzählung)
Ein weiterer wichtiger Spezialfall ist:
Aussonderung aus einer Menge
Wir schreiben auch { a ∈ A | ℰ(a) } statt { a | a ∈ A und ℰ(a) }.
Anschaulich sondern wir in { a ∈ A | ℰ(a) } aus einer vorliegenden Menge A alle Elemente aus, auf die die Eigenschaft ℰ zutrifft. Wir erhalten so eine Teilmenge von A.
Beispiele
(1) | Die Menge { 1 } enthält genau ein Element. nämlich die 1. Analoges gilt für { 0 }. Es gilt 0 ≠ { 0 }, { } ≠ { 0 }, 1 ≠ { 1 }. |
(2) | Die Menge { 1, 2 } enthält genau die Elemente 1 und 2. Nach dem Extensionalitätsprinzip gilt { 1, 2 } = { 2, 1 } = { 1, 2, 1 } = { 1, 1, 1, 2, 1, 2 } = … |
(3) | Sei ℕ die Menge der natürlichen Zahlen (in diesem Buch immer einschließlich der 0). Dann ist die Aussonderung G = { n ∈ ℕ | es gibt ein k ∈ ℕ mit 2k = n } die Menge der geraden Zahlen. Die ungeraden Zahlen erhalten wir mit Hilfe von G durch die Aussonderung U = { n ∈ ℕ | n ∉ G }. |