Lösungen zu den Übungen
Übung 1
Sind die beiden folgenden Mengen gleich? Begründen Sie Ihre Antwort.
A = { 1, 2, { { 2, 1 } }, { 1, 2, { 2 } }, { 1 } }
B = { { 2, { 2 }, 1 }, { 1 }, { { 2, 2, 1 } }, { { 1, 2 } }, 2, 1 }
Lösung zur Übung 1
Die Mengen A und B sind gleich. Hierzu beobachten wir, dass beide Mengen sowohl die 1 als auch die 2 als Element enthalten. Das Gleiche gilt für die Einermenge { 1 }. Weiter gilt nach dem Extensionalitätsprinzip:
{ { 2, 1 } } = { { 1, 2 } } (da { 2, 1 } = { 1, 2 })
{ 1, 2, { 2 } } = { 2, { 2 }, 1 }
Die Mengen auf der linken Seite sind Elemente von A, die Mengen auf der rechten Seite sind Elemente von B. Schließlich gilt für die Menge B, dass
{ { 2, 2, 1 } } = { { 1, 2 } } (da { 2, 2, 1 } = { 1, 2 }),
sodass in der Angabe der Elemente von B eine Menge doppelt aufgezählt wird. Insgesamt haben beide Mengen genau 5 Elemente:
A = B = { 1, 2, { 1 }, { { 1, 2 } }, { 1, 2, { 2 } } }.
Bemerkung
Wir schreiben auch |A| für die Anzahl der Elemente einer Menge A (Mächtigkeit oder Kardinalität von A). Ist A eine Menge der Form
A = { a1, …, an },
so gilt 1 ≤ |A| ≤ n. Der Fall |A| < n ist möglich. Sind die Elemente a1, …, an paarweise verschieden, so gilt |A| = n. Gleichungen liefern Beispiele für das Zusammenfallen von Elementen. Sind
x1,2 =
die Lösungen einer quadratischen Gleichung
a x2 + bx + c = 0,
so hat die Lösungsmenge L = { x1, x2 } der Gleichung nur ein Element, wenn die Diskriminante b2 − 4ac gleich 0 ist. Wir sprechen dann auch von einer doppelten Nullstelle oder einer Nullstelle der algebraischen Vielfachheit 2. In diesem Fall gilt L = { x1, x2 } = { x1 } = { x2 }. Multimengen, die Wiederholungen von Elementen berücksichtigen, werden in der Mathematik eher selten verwendet.
Übung 2
Für alle Mengen A, B, C gilt:
(1) | A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). |
(2) | (A − B) − C = A − (B ∪ C). |
Illustrieren Sie die beiden Identitäten jeweils durch ein beschriftetes Venn-Diagramm mit einer kurzen Erklärung.
Lösung zur Übung 2
zu (1):
Venn-Diagramm zu (1): Wir können zuerst B und C vereinigen und die Vereinigung mit A schneiden. Oder wir schneiden zuerst A mit B, dann A mit C und vereinigen anschließend die beiden Schnitte. Beide Wege ergeben dieselbe Menge.
zu (2):
Venn-Diagramm zu (2): Wir können A zweimal reduzieren, indem wir zuerst B und dann C von der Menge A wegnehmen. Oder wir subtrahieren die Vereinigung von B und C von A. Beide Wege ergeben dieselbe Menge.
Übung 3
(a) | Sei A = { 1, 2, 3, 4 }. Listen Sie die Elemente der Potenzmenge ℘(A) von A auf. Achten Sie dabei auf eine übersichtliche und systematische Darstellung. |
(b) | Sei nun An = { 1, …, n } mit einer beliebigen natürlichen Zahl n. Wie viele Elemente besitzt ℘(An) in Abhängigkeit von n? Begründen Sie Ihre Antwort. Stimmt Ihre Formel auch für den Fall n = 0 mit A0 = ∅? |
Lösung zur Übung 3
zu (a):
Wir listen die Elemente von ℘(A) (also die Teilmengen der Menge A) nach ihrer Größe:
Teilmengen mit keinem Element:
{ }
Teilmengen mit genau einem Element:
{ 1 }, { 2 }, { 3 }, { 4 }
Teilmengen mit genau zwei Elementen:
{ 1, 2 }, { 1, 3 }, { 1, 4 }, { 2, 3 }, { 2, 4 }, { 3, 4 }
Teilmengen mit genau drei Elementen:
{ 2, 3, 4 }, { 1, 3, 4 }, { 1, 2, 4 }, { 1, 2, 3 }
Teilmengen mit genau vier Elementen:
{ 1, 2, 3, 4 }
Insgesamt ergeben sich
1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16
Elemente.
zu (b):
Für jedes n ≥ 1 hat die Menge ℘({ 1, …, n }) genau 2n Elemente.
Begründung: Sei n ≥ 1 gegeben. Eine Teilmenge A von { 1, …, n } entsteht, indem wir für jedes i = 1, …, n entscheiden, ob wir i in A mitaufnehmen oder nicht (zwei Möglichkeiten). Jede Teilmenge kann so erhalten werden und je zwei verschiedene Kombinationsmöglichkeiten führen zu zwei verschiedenen Teilmengen. Damit gilt
|℘(A)| = 2 · … · 2 (mit n Faktoren) = 2n,
wobei wieder |M| die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge M bezeichnet. Die Formel stimmt wegen ℘(∅) = { ∅ } und 20 = 1 auch für den Sonderfall n = 0.
Übung 4
Geben Sie (ohne Begründung) an, welche der fünf Eigenschaften
reflexiv, irreflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch, transitiv
auf die folgenden Relationen zutreffen und welche nicht. Geben Sie für die nicht zutreffenden Eigenschaften Gegenbeispiele an.
(a) | die Gleichheit auf der Menge { 1, 2, 3 } |
(b) | die Kleiner-Relation < auf den ganzen Zahlen ℤ |
(c) | die echte Obermengen-Relation ⊃ auf ℘({ 1, 2, 3 }) |
(d) | die Teilbarkeitsrelation | auf den ganzen Zahlen ℤ mit: a | b genau dann, wenn a ist ein Teiler von b Dabei heißt eine ganze Zahl a ein Teiler einer ganzen Zahl b, wenn es eine ganze Zahl c gibt mit a c = b. |
Lösung zur Übung 4
zu (a):
Die Gleichheit (Identität) auf { 1, 2, 3 } ist reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch und transitiv.
Es gilt 1 = 1, sodass die Relation nicht irreflexiv ist.
zu (b):
Die <-Relation auf ℤ ist irreflexiv, antisymmetrisch und transitiv.
Es gilt nicht 0 < 0, sodass die Relation nicht reflexiv ist.
Es gilt 0 < 1, aber nicht 1 < 0, sodass die Relation nicht symmetrisch ist.
zu (c):
Die ⊃-Relation auf ℘({ 1, 2, 3 }) ist irreflexiv, antisymmetrisch und transitiv.
Es gilt nicht { 1 } ⊃ { 1 }, sodass die Relation nicht reflexiv ist.
Es gilt { 1 } ⊃ ∅, aber nicht ∅ ⊃ { 1 }, sodass die Relation nicht symmetrisch ist.
zu (d):
Die Teilbarkeitsrelation auf ℤ ist reflexiv und transitiv.
Es gilt 1|1, sodass die Relation nicht irreflexiv ist.
Es gilt 1|2, aber nicht 2|1, sodass die Relation nicht symmetrisch ist.
Es gilt −2|2 und 2|−2, aber 2 ≠ −2, sodass die Relation nicht antisymmetrisch ist.