Umkehrfunktion und Einschränkung
Definition (Umkehrfunktion)
Sei f : A → B injektiv, und sei C = f [ A ] = { f (a) | a ∈ A } der Wertebereich von f. Dann heißt die Funktion g : C → A mit
g(b) = „das eindeutige a ∈ A mit f (a) = b“ für alle b ∈ C
die Umkehrfunktion von f. In Zeichen schreiben wir g = f −1 [ gelesen: „f hoch minus 1“ ].
Es gilt f −1 = { (b, a) | (a, b) ∈ f }. Die Injektivität (Linkseindeutigkeit) von f führt zur Rechtseindeutigkeit der Umkehrrelation. Die Umkehrfunktion rekonstruiert die Stelle aus dem Wert. Für diese Rekonstruktion ist die Injektivität entscheidend. Wichtig nicht nur in diesem Zusammenhang ist:
Definition (Identität)
Sei A eine Menge. Dann heißt die Funktion idA : A → A mit idA(a) = a für alle a ∈ A die Identität auf A.
Ist f : A → B injektiv, so gilt f −1(f (a)) = a für alle a ∈ A. Damit ist f −1 ∘ f = idA. Analog ist f ∘ f −1 = idC mit C = f [ A ].
Ist f nicht injektiv, so können wir eine „Pseudoumkehrfunktion“ durch eine Verkleinerung des Definitionsbereichs erhalten. Wir definieren allgemein:
Definition (Einschränkung)
Sei f : A → B, und sei C ⊆ A. Dann heißt die Funktion g : C → B mit
g(a) = f (a) für alle a ∈ C
die Einschränkung von f auf C. In Zeichen schreiben wir g = f↾C [gelesen: „f eingeschränkt auf C“].
Es gilt f|C = { (a, b) ∈ f | a ∈ C }. Das Paradebeispiel für eine Einschränkung ist:
Beispiel: Konstruktion der Quadratwurzelfunktion
Sei sq : ℝ → ℝ mit sq(x) = x2 für alle x ∈ ℝ (mit sq für square). Die Funktion ist nicht injektiv, da sq(−1) = sq(1). Wir müssen sie also einschränken, um sie wenigstens teilweise umkehren zu können. Sei C = ℝ+0 = { x ∈ ℝ | x ≥ 0 }. Dann ist sq|C injektiv (rechter Ast der Einheitsparabel). Wir setzen
sqrt = (sq|C)−1 [ mit sqrt für square root].
Die Funktion sqrt : ℝ+0 → ℝ heißt die reelle Quadratwurzelfunktion. Wir schreiben wie üblich auch anstelle von sqrt(x). Es gilt
sq(sqrt(x)) = 2 = x für alle x ≥ 0, sqrt(sq(x)) = = |x| für alle x ∈ ℝ.