5. Rationale und reelle Zahlen

Nach unserer Untersuchung der natürlichen Zahlen betrachten wir nun die rationalen und reellen Zahlen. Eine Auflistung wichtiger Rechengesetze führt uns zum Begriff des angeordneten Zahlkörpers und zu einer axiomatischen Beschreibung der rationalen Zahlen als kleinster angeordneter Körper. Die Irrationalität der Quadratwurzel aus 2 motiviert das Vollständigkeitsaxiom, das die Existenz kleinster oberer Schranken für nichtleere beschränkte Zahlmengen garantiert. Damit wird der wesentliche Unterschied zwischen den rationalen Zahlen und den reellen Zahlen durch ein einziges für die Analysis sehr bedeutsames Axiom prägnant formuliert. Als Anwendung besprechen wir endliche und unendliche Dezimaldarstellungen, sodass wir am Ende die reellen Zahlen in einer vertrauten Form wiedergefunden haben.