Exkurs: Endliche Körper
ℚ und ℝ sind unendliche Körper. Die Körperaxiome (K1) − (K10) lassen sich erstaunlicherweise bereits mit zwei Zahlen erfüllen: Setzen wir
| 0 + 0 = 0 | 0 + 1 = 1 | 1 + 0 = 1 | 1 + 1 = 0 |
| 0 · 0 = 0 | 0 · 1 = 0 | 1 · 0 = 0 | 1 · 1 = 1, |
so erfüllt die Menge { 0, 1 } die Körperaxiome (K1) − (K10). Es gibt also einen Körper mit genau 2 Elementen. Allgemeiner gilt dies für jede Primzahl p mit der Menge { 0, …, p − 1 } und den Operationen
a + b = „der Rest r ∈ { 0, …, π − 1 } von a + b bei Division durch p“,
a · b = „der Rest r ∈ { 0, …, p − 1 } von a · b bei Division durch p“.
Die so entstehenden Körper heißen die Restklassenkörper modulo p (wobei wir hier die üblichen Restklassen der Einfachheit halber durch Reste in { 0, …, p − 1 } ersetzt haben).
Beispiele
(1) | Für p = 2 fallen die Rest-Operationen auf { 0, 1 } mit denen der obigen Tabelle zusammen. Es gilt zum Beispiel 1 + 1 = 0, da die Zahl 2 den Rest 0 bei Division durch 2 besitzt. |
(2) | Für die Primzahl p = 7 gilt zum Beispiel 3 · 5 = 1, da 3 · 5 = 15 und 15 den Rest 1 bei Division durch 7 besitzt. In diesem Zahlkörper sind also die 3 und die 5 invers zueinander, d. h. es gilt 3−1 = 5 und 5−1 = 3. Weiter gilt beispielsweise 3 · 3 = 2, 3 · 6 = 4, 4 · 6 = 3, 3 + 3 = 6, 4 + 4 = 1, 5 + 5 = 3. |
(3) | Es ist wesentlich, dass p eine Primzahl ist. Auf der Menge { 0, …, 5 } mit Resten bei Division durch 6 ergeben die Operationen keinen Körper. Für die 2 gibt es beispielsweise kein Inverses, da 2 · 0 = 0, 2 · 1 = 2, 2 · 2 = 4, 2 · 3 = 0, 2 · 4 = 2, 2 · 5 = 4. |
Das „Rechnen mit Resten“ ist zuerst von Gauß systematisch untersucht worden. Es ist heute ein klassischer Bestandteil der Zahlentheorie.
Auf den Restklassenkörpern können wir keine Ordnung mit den Eigenschaften (K11) − (K15) einführen. Für p = 2 gilt 1 + 1 = 0, für p = 3 gilt 1 + 1 + 1 = 0 usw. Dieses Aufsummieren der 1 zur 0 ist mit den Anordnungsaxiomen nicht vereinbar, da diese implizieren, dass
0 < 1 < 1 + 1 < 1 + 1 + 1 < …