Die Körperaxiome
Sei K eine Menge, für die eine Addition + und eine Multiplikation · erklärt ist. Weiter seien 0, 1 ausgezeichnete Elemente von K. Dann heißt (K, +, ·, 0, 1) oder kurz K ein Körper, falls für alle a, b, c ∈ K die folgenden Körperaxiome gelten:
(K1) | a + (b + c) = (a + b) + c | Assoziativgesetz für + |
(K2) | a + 0 = a | Neutralität von 0 bzgl. + |
(K3) | ∃a′ a + a′ = 0 | Existenz von Inversen für + |
(K4) | a + b = b + a | Kommutativgesetz für + |
(K5) | a · (b · c) = (a · b) · c | Assoziativgesetz für · |
(K6) | a · 1 = a | Neutralität von 1 bzgl. · |
(K7) | a ≠ 0 → ∃a′ a · a′ = 1 | Existenz von Inversen für · |
(K8) | a · b = b · a | Kommutativgesetz für · |
(K9) | a · (b + c) = (a · b) + (a · c) | Distributivgesetz |
(K10) | 0 ≠ 1 | Verschiedenheit von 0 und 1 |
Ist auf K eine Relation < erklärt, so heißt (K, +, ·, 0, 1, <) ein angeordneter Körper, falls zusätzlich für alle a, b, c ∈ K die folgenden Anordnungsaxiome gelten:
(K11) | ¬ (a < a) | Irreflexivität |
(K12) | a < b ∧ b < c → a < c | Transitivität |
(K13) | a < b ∨ a = b ∨ b < a | Vergleichbarkeit |
(K14) | a < b → a + c < b + c | Addition und Ordnung |
(K15) | 0 < a ∧ 0 < b → 0 < a · b | Multiplikation und Ordnung |
Einführung einer Subtraktion und Division
Wir schreiben −a für das eindeutige a′ mit a + a′ = 0 und a−1 für das eindeutige a′ mit a · a′ = 1 (falls a ≠ 0). Weiter setzen wir a − b = a + (−b) und a/b = a · b−1 (für b ≠ 0). Speziell ist 1/a = 1 · a−1 = a−1.
Die fünfzehn Axiome sind die Quintessenz des Rechnens auf einer Zahlengeraden. Alle Rechengesetze lassen sich aus diesen Axiomen ableiten: Die Rechenregeln für Brüche, die binomischen Formeln, die Regeln für den Umgang mit Ungleichungen usw. Das ist ein langwieriges Unterfangen, das wir hier nicht durchführen wollen. Aber die Axiome gehören zum Kulturgut der Mathematik. Sie sind zuerst von Richard Dedekind in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts formuliert worden.