Die reelle Ebene als Körper

 Die reellen Zahlen ℝ bilden einen Körper. Wir fragen, ob wir auch die Ebene

ℝ2 = ℝ × ℝ = { (x, y) | x, y  ∈  ℝ } mit einer Addition und Multiplikation so ausstatten können, dass ein Körper entsteht.

Die Addition

Als Addition bietet sich die Vektoraddition an. Setzen wir

(x1, y1) + (x2, y2)  =  (x1 + x2,  y1 + y2)  für alle (x1, y1), (x2, y2)  ∈  ℝ2,

so gelten die Axiome (K1) − (K4), wenn wir als neutrales Element der Addition den Nullvektor 0 = (0, 0) wählen.

Die Multiplikation

Die Multiplikation ist schwieriger zu definieren. Ein guter Ausgangspunkt ist die skalare Multiplikation eines Vektors der Ebene mit einer reellen Zahl. Wir identifizieren x  ∈  ℝ mit (x, 0)  ∈  ℝ2 und fordern

(x, 0) · (x1, y1)  =  x (x1, y1)  =  (x x1, x y1)  für alle x  ∈  ℝ, (x1, y1)  ∈  ℝ2.

Dann gilt für alle (x, y)  ∈  ℝ2:

(x, y)  =  (x, 0) + (0, y)  =  x + y (0, 1)  =  x + y e2,

mit dem zweiten kanonischen Basisvektor e2 = (0, 1). Traditionell wird dieser Vektor in diesem Kontext mit i bezeichnet. Mit

i  =  e2  =  (0, 1)

ergibt sich unter Verwendung des Kommutativgesetzes, dass

(x, y)  =  x + y e2  =  x + y i  =  x + i y  für alle (x, y)  ∈  ℝ2.

Aufgrund des Distributivgesetzes muss für alle (x1, y1), (x2, y2)  ∈  ℝ2 gelten:

(x1, y1)  ·  (x2,  y2) =  (x1 + i y1)  ·  (x2 + i y2)
=  x1 x2  +  i x1 y2  +  i y1 x2  +  i2 y1 y2
=  x1 x2  +  i2 y1 y2  +  i (x1 y2 + y1 x2).

Diese Rechnung zeigt, dass die gesuchte Fortsetzung der Skalarmultiplikation vollständig durch den Wert i2 = (0, 1) · (0, 1) bestimmt ist. Die natürlichen Kandidaten sind i2 = 1 und i2 = −1. Die Wahl von i2 = −1 erweist sich (wie man nachrechnen muss!) als geeignet. Damit erhalten wir:

(x1, y1) · (x2,  y2)  =  x1 x2  −  y1 y2  +  i (x1 y2 + x2 y1)  =  (x1 x2 − y1 y2, x1 y2 + y1 x2).

 Diese Überlegungen motivieren die folgende Definition, die zu den bedeutsamsten Konstruktionen der Mathematik gehört: