Imaginärteil, Realteil und Betrag
Definition (Real- und Imaginärteil, rein imaginär)
Sei z = (x, y) ∈ ℂ. Dann setzen wir:
Re(z) = x, Im(z) = y.
Die reellen Zahlen Re(z) und Im(z) heißen der Realteil bzw. der Imaginärteil von z. Eine komplexe Zahl z heißt rein imaginär, falls Re(z) = 0.
Der Realteil und der Imaginärteil einer komplexen Zahl sind Elemente von ℝ. Für alle z = (x, y) ∈ ℂ gilt
z = (x, y) = x + i y = Re(z) + i Im(z)(Standarddarstellung)
Beispiele
(1) | Sei z = (2, −1) = 2 − i. Dann gilt Re(z) = 2 und Im(z) = −1. |
(2) | Es gilt Re(i) = 0 und Im(i) = 1. |
(3) | Die komplexen Zahlen z mit Re(z) = Im(z) sind genau die Zahlen auf der Winkelhalbierende der Ebene. |
Definition (Betrag einer komplexen Zahl)
Sei z ∈ ℂ. Dann setzen wir
|z| = .
Die reelle Zahl |z| heißt der Betrag von z.
Der Betrag einer komplexen Zahl z ist die Euklidische Länge des Vektors z. Die Menge { z ∈ ℂ | |z| = 1 } ist der Einheitskreis der Ebene. Es gelten die folgenden Eigenschaften:
Satz (Eigenschaften des Betrags)
Für alle z, w ∈ ℂ gilt:
(a) | |z| = 0 genau dann, wenn z = 0, |
(b) | |z + w| ≤ |z| + |w|, (Dreiecksungleichung) |
(c) | |z w| = |z| |w|. (Produktregel) |
Die Dreiecksungleichung entspricht der geometrischen Tatsache, dass die Diagonale eines Parallelogramms kleinergleich der Summe der Längen zweier benachbarter Seiten ist. Die dritte Eigenschaft folgt direkt aus der geometrischen Multiplikationsregel. Denn nach dieser Regel ist die Länge eines Produkts das Produkt der Längen der Faktoren.