1. Die elementaren Funktionen

Wir betrachten grundlegende reelle Funktionen der Form f : ℝ → ℝ oder allgemeiner f : P → ℝ mit einer Teilmenge P der reellen Zahlen. Mit Hilfe der Addition, Subtraktion und Multiplikation können wir Polynomfunktionen wie

x,  x² + 1,  x⁵ − 2x² − 1

in einer reellen Variablen x definieren. Lassen wir die Division zu, so ergeben sich rationale Funktionen wie etwa

1/x,  (x + 1)/(x − 1),  (x² + 1)/(x³ + 2x − 1).

Die Hinzunahme von Wurzelfunktionen erzeugt Funktionen wie

$\sqrt{\mathrm{x}}$,  ³$\sqrt{2\mathrm{x}+1}$,  x³/$\sqrt{({\mathrm{x}}^2-1)}$.

Fügen wir noch die Exponentialfunktionen, die trigonometrischen Funktionen und die hyperbolischen Funktionen samt ihren Umkehrfunktionen hinzu, so erhalten wir beispielsweise

2 cos(x + π/4),  sin(x)/x,  log(arctan(1/x²) + π),  cosh²(x² + 1).

Die sich so ergebenden Funktionen heißen die elementaren reellen Funktionen. Wir begnügen uns hier mit einer informalen Beschreibung: Die elementaren Funktionen bestehen aus einer gewissen Menge von einfachen Grundfunktionen und sie sind abgeschlossen unter arithmetischen Operationen und Komposition. Viele dieser Funktionen sind aus der Schule prinzipiell gut bekannt, sodass wir uns auf einen knappen Überblick und einige exemplarische Überlegungen beschränken können.