Reelle Funktionen

Definition (reelle Funktion)

Eine Funktion der Form f : P → ℝ mit P ⊆ ℝ heißt eine reelle Funktion.

Viele reelle Funktionen sind durch einen Term in einer Variablen definiert, der durch die wiederholte Verknüpfung von Grundfunktionen entsteht.

Beispiele

(1)	Beispiele für Terme in den vier Grundrechenarten sind x² + 1, y³ + 2y + 1, 1/(2z + 1)³ (mit den Variablen x, y bzw. z).

(2)	Die Terme $\sqrt{sin (x^{2}) + 1}$ , sin(y² + π/4), 2^z − 1 verwenden neben den Grundrechenarten weitere Funktionen wie die Wurzel, die Sinusfunktion oder die Exponentiation zur Basis 2.

Terme lassen sich für bestimmte Stellen eindeutig auswerten und führen dadurch zu Funktionen. So definiert (oder erzeugt) zum Beispiel der Term 1/x² die Funktion f : ℝ* → ℝ mit f (x) = 1/x² für alle x  ∈  ℝ*, wobei ℝ* = ℝ − { 0 }. Ein Term ist ein syntaktischer Ausdruck und keine Funktion. Um jedoch die Sprechweise zu vereinfachen, vereinbaren wir:

Terme als Funktionen

Wird ein reeller Term als Funktion behandelt, so ist diese Funktion die reelle Funktion mit maximalem Definitionsbereich, die durch diesen Term definiert wird. Alternativ können wir auch den Definitionsbereich konkret angeben.

Beispiele

(1)	Die Funktion x² ist die reelle Funktion sq : ℝ → ℝ mit sq(x) = x² für alle x  ∈  ℝ. Damit können wir zum Beispiel sagen: „Die Funktion x² ist nicht injektiv.“ Oder genauer: „Die Funktion x² auf ℝ ist nicht injektiv.“

(2)	Die Funktion x² auf [ 0, ∞ [ ist die reelle Funktion f : [ 0, ∞ [  → ℝ mit f (x) = x² für alle x ≥ 0. Es gilt also f = sq\|[ 0, ∞ [. Die Funktion x² auf [ 0, ∞ [ ist injektiv.

(3)	Die Funktion 1/x ist die Einheitshyperbel f : ℝ* → ℝ mit f (x) = 1/x für alle x ≠ 0. Die Funktion 1/x ist im Nullpunkt nicht definiert.

(4)	Die Funktion 1/x auf ] −∞, 0 [ ist der linke Ast der Einheitshyperbel.