Polynome
Definition (Polynome, Koeffizienten, Leitkoeffizient, normiert, Grad)
Seien a0, …, an ∈ ℝ. Dann heißt die Funktion f : ℝ → ℝ mit
f (x) = an xn + an − 1 xn − 1 + … + a0 für alle x ∈ ℝ
das (reelle) Polynom mit den Koeffizienten a0, …, an. Ist an ≠ 0, so heißt n der Grad und an der Leitkoeffizient des Polynoms. Gilt an = 1, so heißt das Polynom normiert. Sind alle Koeffizienten gleich 0, so heißt f das Nullpolynom. Dem Nullpolynom ordnen wir den symbolischen Grad −∞ zu.
Wir schreiben auch deg(f) für den Grad von f. Es gilt deg(f) ∈ ℕ ∪ { −∞ }.
Konstante Polynome
Ein Polynom der Form f (x) = c heißt ein konstantes Polynom. Ist c = 0, so gilt deg(f) = −∞. Andernfalls ist deg(f) = 0.
Geraden
Ein Polynom der Form g(x) = ax + b heißt eine Gerade mit Steigung a und Nullwert b. Ein Polynom g ist genau dann eine Gerade, wenn deg(g) ≤ 1.
Parabeln
Ein Polynom der Form f (x) = ax2 + bx + c mit a ≠ 0 heißt eine Parabel mit Öffnung a, Nullpunktssteigung b und Nullwert c. Ein Polynom f ist genau dann eine Parabel, wenn deg(f) = 2.
Monome
Ein Polynom der Form xn heißt ein Monom. Ein Monom xn ist normiert und hat den Grad n. Für n ≥ 2 ist die Umkehrfunktion von xn die n-te Wurzelfunktion x1/n. Sie ist auf ℝ (falls n ungerade) oder auf [ 0, ∞ [ (falls n gerade) definiert.
Steigungsform einer Geraden
Für alle a, x0, y0 ∈ ℝ ist g(x) = a(x − x0) + y0 eine Gerade. Sie hat die Steigung a und verläuft durch den Punkt (x0, y0), da g(x0) = 0 + y0 = y0. Diese Form der Geradendarstellung nennen wir Steigungsform. Sie spielt in der Analysis eine wichtige Rolle bei der Berechnung von Tangenten.
Die Steigungsform können wir anschaulich beschreiben: Wir starten mit der Geraden ax durch den Nullpunkt. Nun verschieben wir diese Gerade um x0 entlang der x-Achse und erhalten a(x − x0). Die Verschiebung um y0 entlang der y-Achse ergibt a(x − x0) + y0.
Für je zwei Punkte (x0, y0) und (x1, y1) mit x0 ≠ x1 gibt es genau eine Gerade durch diese Punkte. Wir setzen hierzu a = (y1 − y0)/(x1 − x0) in der Steigungsform.