Exponentialfunktionen und Logarithmen
In den reellen Zahlen lässt sich eine Potenz ax für a > 0 und x ∈ ℝ einführen. Es existieren auch gewisse Potenzen für negative Basen. So gilt etwa (−2)3 = −8 oder (−27)1/3 = −3. Im Allgemeinen ist es aber wichtig, dass die Basis positiv ist, und wir konzentrieren uns auf diesen Fall.
Es gibt verschiedene äquivalente Möglichkeiten, ax zu erklären.
Erster Weg: Rationale Exponenten und stetige Fortsetzung
Sei a > 0. Wir definieren zunächst an/m als die m-te Wurzel aus an für alle n ∈ ℤ, m ∈ ℕ* (das Ziel x1/2 · x1/2 = x1/2 + 1/2 = x1 = x motiviert x1/2 = ). Damit ist aq für alle q ∈ ℚ definiert und es gelten die Potenzregeln. Für irrationale Exponenten x setzen wir nun
ax = supq < x, q ∈ ℚ aq, falls a ≥ 1, ax = infq < x, q ∈ ℚ aq , falls 0 < a < 1.
Zweiter Weg: Verwendung der Exponentialfunktion zur Basis e
Wir nehmen an, dass die Exponentialfunktion exp : ℝ → ℝ zur Basis e = exp(1) (Eulersche Zahl) und ihre Umkehrfunktion log : ] 0, ∞ [ → ℝ bekannt sind (mit log = ln, wobei „ln“ = „logarithmus naturalis“). Die Funktion exp wird heute üblicherweise als unendliche Reihe durch
exp(x) = ∑n ≥ 0 xnn! = 1 + x + x22 + x36 + … + xnn! + … für alle x ∈ ℝ
definiert. Sie ist durch die Ableitung exp′ = exp und den Wert exp(0) = 1 charakterisiert. Wir kommen später noch darauf zurück. Alternativ kann zuerst der Logarithmus log durch Integration von 1/x eingeführt werden und dann exp = log−1 gesetzt werden (dieser Zugang ist heute seltener).
Seien also exp : ℝ → ℝ und log : ] 0, ∞ [ → ℝ gegeben. Für a > 0 setzen wir
ax = exp(x log(a)) für alle x ∈ ℝ.
Speziell ist ex = exp(x log(e)) = exp(x) mit e = exp(1).
Die Eulersche Zahl e kann alternativ durch e = limn ≥ 1 (1 + 1/n)n eingeführt werden (der Grenzwert lässt sich durch das Problem der stetigen Verzinsung motivieren). Der erste Weg liefert nun ex für alle x ∈ ℝ und damit exp : ℝ → ℝ.
Eine Basis a lässt sich wegen ax = exp(x log(a)) = ex log(a) immer in die Basis e überführen. Exemplarisch zeigen wir:
Gewinnung einer Potenzregel
Sei a > 0. Dann gilt für alle x, y ∈ ℝ:
| (ax)y | = exp(x log(a))y |
| = exp(y log(exp(x log(a)))) = exp(y x log(a)) = ax y. |
Es gilt 1x = 1 für alle x. Für a ≠ 1 ist ax monoton steigend oder monoton fallend, sodass wir die Umkehrfunktion bilden können:
Definition (allgemeine Exponentialfunktionen und Logarithmen)
Sei a > 0. Wir nennen expa : ℝ → ℝ mit
expa(x) = ax = ex log(a) für alle x ∈ ℝ
die Exponentialfunktion zur Basis a. Für a ≠ 1 sei loga : ] 0, ∞ [ → ℝ die Umkehrfunktion von expa. Sie heißt der Logarithmus zur Basis a. Speziell ist expe = exp und log = loge = ln.
Exponentialfunktion und Logarithmus (zur Basis e). Eingezeichnet sind zudem die Geraden x + 1 und x − 1. Den Verlauf der allgemeinen Exponentialfunktionen und Logarithmen diskutieren wir in den Übungen.
Rechenregeln für Exponentialfunktionen und Logarithmen
Satz (Eigenschaften der Exponentialfunktionen und Logarithmen)
Unter der Voraussetzung der Definiertheit der Ausdrücke gilt:
(1) | a0 = expa(0) = 1, a1 = expa(1) = a(Grundwerte) |
(2) | ax + y = expa(x + y) = expa(x) expa(y) = ax ay (Additionstheorem) ax − y = expa(x − y) = expa(x)/expa(y) = ax/ay |
(3) | ax y = expa(x y) = expexpa(x)(y) = (ax)y |
(4) | loga(1) = 0, loga(a) = 1(Grundwerte) |
(5) | loga(xy) = loga(x) + loga(y) (Multiplikationstheorem) loga(x/y) = loga(x) − loga(y) |
(6) | loga(bx) = loga(expb(x)) = x loga(b) |
(7) | alogb(x) = expa(logb(x)) = xlogb(a) |
Wir hatten oben schon festgestellt, dass wir eine Potenz ax durch Übergang zu ex log(a) in eine Potenz zur Basis e verwandeln können. Allgemein besteht zwischen Basen a, b > 0 mit b ≠ 1 der Zusammenhang
ax = ex log(a) = ex log(a)/log(b) log(b) = bx log(a)/log(b).(Basiswechsel)
Für die Logarithmen ergibt sich:
Satz (Basiswechsel für Logarithmen)
Unter der Voraussetzung der Definiertheit der Ausdrücke gilt:
(1) | loga(x) = log(x)log(a) = logb(x)logb(a)(Basiswechsel für Logarithmen) |
(2) | loga(x) = − log1/a(x)(Invertierung der Basis) |
(3) | loga(b) logb(a) = 1 |
Beispiele
(1) | Für alle x, y > 0 gilt: log(x + y) = log(x (1 + y/x)) = log(x) + log(1 + y/x) |
(2) | Für alle x > 0 gilt: log8(x) = log2(x)log2(8) = log2(x)log2(23) = log2(x)3 log2(2) = 13 log2(x) |