Die Arkusfunktionen
Um Umkehrfunktionen bilden zu können, müssen wir die nicht injektiven trigonometrischen Funktionen geeignet einschränken. Wir definieren:
| sin0 = sin ↾ [ −π/2, π/2 ] | cos0 = cos ↾ [ 0, π ] |
| tan0 = tan ↾ ] −π/2, π/2 [ | cot0 = cot ↾ ] 0, π [ |
Damit können wir einführen:
Definition (Arkusfunktionen)
Die Arkusfunktionen arccos, arcsin, arctan und arccot sind definiert als die Umkehrfunktionen von cos0, sin0, tan0 bzw. cot0.
Funktion | Definitionsbereich | Wertebereich |
arccos | [ −1, 1 ] | [ 0, π ] |
arcsin | [ −1, 1 ] | [ −π/2, π/2 ] |
arccot | ℝ | ] 0, π [ |
arctan | ℝ | ] −π/2, π/2 [ |
Die Funktionen arccot und arctan haben die bemerkenswerte Eigenschaft, die reellen Zahlen bijektiv auf ein beschränktes Intervall abzubilden.
Die Bezeichnung geht auf das Lateinische „arcus“ für „Bogen“ zurück. Die Funktionen arccos und arcsin berechnen Bogenlängen. Der Kosinus berechnet die x-Koordinate eines Punktes P = (1, α)polar auf dem Einheitskreis. Da die Punkte P = (1, α)polar und Q = (1, −α)polar die gleiche x-Koordinate besitzen, ist die Rekonstruktion der Bogenlänge α aus der x-Koordinate nur möglich, wenn wir uns auf einen bestimmten Winkelbereich beschränken. Für den Arkuskosinus bietet sich [ 0, π ] an. Analoges gilt für den Arkussinus mit [ −π/2, π/2 ].
Zusammenspiel mit Pythagoras
Sei x ∈ [ −1, 1 ]. Wenden wir den Sinus auf arccos(x) an, so erhalten wir nach dem Satz des Pythagoras: Die Punkte (0, 0), (x, 0) und (x, sin(arccos(x))) bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse 1. Allgemein gilt
sin(arccos(x)) = cos(arcsin(x)) = für alle x ∈ [ −1, 1 ].
Winkelberechnung mit Hilfe des Arkustangens
Ist g : ℝ → ℝ eine Gerade mit der Steigung a ∈ ℝ, so berechnet sich der Winkel α ∈ ] π/2, π/2 [ , den die Gerade mit der x-Achse einschließt, zu α = arctan(a).
Arkuskosinus und Arkussinus
Arkustangens und Arkuskotangens