Unendliche Folgen
Definition (Folgen)
Eine Funktion der Form f : ℕ → M heißt eine (unendliche) Folge in der Menge M. Für alle n ∈ ℕ heißt f (n) das n-te Glied der Folge.
Die Folgennotation
Eine Folge f : ℕ → M notieren wir oft in der Indexform f = (xn)n ∈ ℕ mit xn = f (n) für alle n ∈ ℕ. Wir schreiben auch (x0, x1, x2, …) oder x0, x1, x2, … anstelle von (xn)n ∈ ℕ.
In der Indexnotation muss ein Funktionszeichen wie f, g, h usw. nicht mehr erwähnt werden. Mehrere Folgen geben wir als (xn)n ∈ ℕ, (yn)n ∈ ℕ, (zn)n ∈ ℕ , … an. Je nach Kontext ist es auch günstig, eine Folge mit dem Index 1 zu beginnen. Sie hat dann die Index-Form (xn)n ≥ 1 (und die Funktionsform f : ℕ* → M).
Beispiele
(1) | Sei f : ℕ → ℝ mit f (n) = 2n für alle n. Dann ist f eine Folge in ℝ, die wir in der Form (2n)n ∈ ℕ, (1, 2, 4, …, 2n, …) oder 1, 2, 4, …, 2n, … notieren können. |
(2) | Wir definieren eine reelle Folge, d. h. eine Folge in ℝ, (xn)n ∈ ℕ durch xn = (−1)n für alle n. Es gilt also (xn)n ∈ ℕ = ((−1)n)n ∈ ℕ. In Pünktchenform lautet die Folge 1, −1, 1, −1, 1, −1, … |
(3) | Eine konstante Folge ist eine Folge der Form c, c, c, … |
Visualisierung reeller Folgen
Eine reelle Folge (xn)n ∈ ℕ können wir wie jede reelle Funktion plotten, indem wir die Punkte (n, xn) für einige n in der Ebene markieren. Alternativ können wir einige Folgenglieder xn auf einer Zahlengeraden markieren und die entsprechenden Indizes angeben. Für die Folge 1, −1, 1, −1, … springt die erste Darstellung auf der y-Achse zwischen 1 und −1 hin und her, während bei der zweiten Darstellung nur die zwei Punkte 1 und −1 auf der x-Achse markiert und mit geraden bzw. ungeraden Indizes versehen sind.
Definition (Teilfolge)
Seien (xn)n ∈ ℕ und (yn)n ∈ ℕ Folgen. Dann heißt (yn)n ∈ ℕ eine Teilfolge von (xn)n ∈ ℕ, falls es eine streng monoton wachsende Folge n0, n1, n2, … in ℕ gibt mit (y0, y1, y2, …) = (xn0, xn1, xn2, …).
Beispiel
Die Folgen 1, 1, 1, … und −1, −1, −1, … sind Teilfolgen von 1, −1, 1, −1, … Die Folge 1, 3, 5, … der ungeraden Zahlen ist eine Teilfolge von 0, 1, 2, 3, … Dagegen ist 1, 0, 3, 2, 5, 4, … ist keine Teilfolge von 0, 1, 2, 3, …, n, …
Visualisierung einer reellen Folge (xn)n ∈ ℕ in der x-y-Ebene. Wir zeichnen die Punkte (n, xn) für einige n in ein Diagramm ein.
Visualisierung der Folge ((−1)n)n ∈ ℕ
Darstellung der Folge ((−1)n)n ∈ ℕ durch Punkte auf der reellen Zahlengeraden. Alle Glieder mit ungeraden Indizes sind −1, alle Glieder mit geraden Indizes sind 1.