Lösungen zu den Übungen
Übung 1
Visualisieren Sie die Konvergenz der Folge (xn)n ≥ 1 mit xn = 1 − 1/n für alle n ≥ 1 sowohl durch ein Diagramm in der x-y-Ebene als auch durch ein Diagramm auf der x-Achse.
Lösung zur Übung 1
Es gilt
limn ≥ 1 xn = limn ≥ 1 (1 − 1/n) = 1.
Dies können wir in den beiden Arten wie folgt visualisieren:
Visualisierung des Grenzwerts 1 der Folge (1 − 1/n)n ≥ 1 in der x-y-Ebene
Visualisierung des Grenzwerts 1 der Folge (1 − 1/n)n ≥ 1 auf x-Achse
Übung 2
Zeigen Sie durch Nachweis der Konvergenz- bzw. Divergenzbedingung:
(a) | Sei c ∈ ℝ. Dann konvergiert die konstante Folge (c)n ∈ ℕ gegen c. |
(b) | Die Folge 1, 1/2, 1, 1/4, 1, 1/8, 1, 1/16, … divergiert. |
Lösung zur Übung 2
zu (a):
Wir zeigen die Konvergenzbedingung für c:
∀ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 xn ∈ ] c − ε, c + ε [
Sie hierzu ε > 0 beliebig. Wir setzen n0 = 0. Dann gilt für alle n ≥ n0:
xn = c ∈ ] c − ε, c + ε [.
Dies zeigt, dass limn xn = c.
Bemerkung
Die Beweisidee ist: Jedes offene Intervall, das den konstanten Wert c der Folge enthält, fängt die gesamte Folge ein. Für jedes ε ist der Index n0 = 0 geeignet.
zu (b):
Sei x ∈ ℝ beliebig. Wir zeigen die Divergenzbedingung für x:
∃ε > 0 ∀n0 ∃n ≥ n0 xn ∉ ] x − ε, x + ε [
Wir setzen hierzu ε = 1/4. Sei n0 beliebig. Dann gilt
xn0 ∉ ] x − ε, x + ε [ oder xn0 + 1 ∉ ] x − ε, x + ε [.
Denn es gibt ein k ≥ 1 mit { xn0, xn0 + 1 } = { 1, 1/2k }, sodass die Glieder xn0 und xn0 + 1 der Folge einen Abstand größergleich 1/2 voneinander besitzen. Das offene Intervall ] x − ε, x + ε [ hat die Länge 1/2, sodass es nicht beide Glieder xn0 und xn0 + 1 enthalten kann. Dies zeigt die Divergenzbedingung für x.
Bemerkung
Die Beweisidee ist: Je zwei aufeinander folgende Glieder der Folge haben mindestens den Abstand 1/2 voneinander. Damit können wir den Beweis der Divergenz von 1, −1, 1, −1, … als Grundlage nehmen und entsprechend anpassen.
Übung 3
Wir betrachten die folgende Aussage:
„Die Konvergenz einer Folge (xn)n ∈ ℕ gegen x bedeutet anschaulich, dass die Folgenglieder xn dem x beliebig nahe kommen, ohne x je zu erreichen.“
Diskutieren Sie, zu welchen Fehlinterpretationen des Grenzwertbegriffs diese Aussage führen kann. Formulieren Sie zudem eine entsprechend verbesserte Version der Aussage.
Lösung zur Übung 3
Die Aussage lässt zwei Interpretationen zu, die nicht mit unserer Grenzwertdefinition vereinbar sind:
„ohne x je zu erreichen“
Die konstante Folge
1, 1, 1, …
konvergiert nach unserer Definition gegen 1 (vgl. Aufgabe 2). Sie erreicht damit ihren Grenzwert an jeder Stelle. Analoges gilt für die Folge 1/2, 0, 1/4, 0, 1/8, 0, … Hier wird der Grenzwert 0 von jedem zweiten Glied erreicht.
Eine mögliche Interpretation der Aussage lautet also:
„Alle Folgenglieder einer konvergenten Folge müssen sich vom Grenzwert der Folge unterscheiden.“
„die xn kommen dem x beliebig nahe“
Die Folge
1, 1/2, 1, 1/4, 1, 1/8, 1, 1/16, …
divergiert nach unserer Definition (vgl. wieder Aufgabe 2). Sie kommt aber anschaulich sowohl der 1 als auch der 0 beliebig nahe, da ihre Teilfolgen
1, 1, 1, … bzw. 1/2, 1/4, 1/8, …
gegen 1 bzw. 0 konvergieren.
Eine mögliche Interpretation der Aussage lautet also:
„Es gibt eine Teilfolge, die die Konvergenzbedingung für x erfüllt.“
Bemerkung: Einen Grenzwert einer Teilfolge nennt man einen Häufungspunkt der Folge. Durch die Aussage wird der Unterschied zwischen Grenzwerten und Häufungspunkten verwischt.
Verbesserung
„Die Konvergenz einer Folge (xn)n ∈ ℕ gegen x bedeutet anschaulich, dass die Folgenglieder xn dem x beliebig nahe kommen und auch beliebig nahe bei x bleiben. Sie können mit x zusammenfallen.“
Übung 4
Sei a > 0. Wir definieren eine Folge (xn)n ∈ ℕ rekursiv durch
x0 = a, xn + 1 = 12(xn + axn) für alle n ≥ 0.(Heron-Verfahren)
(a) | Berechnen Sie x1, x2 und x3 für a = 2. Vergleichen Sie die Werte numerisch mit . |
(b) | Man kann zeigen, dass x1 ≥ x2 ≥ … ≥ xn ≥ … ≥ 0, sodass x = limn xn = infn ≥ 1 xn existiert. Weiter gilt xn2 ≥ a für alle n ≥ 1, sodass x > 0. Zeigen Sie unter Verwendung der Limesregeln, dass x = . [ Hinweis: Verwenden Sie, dass limn xn = limn xn + 1. ] |
Lösung zur Übung 4
zu (a):
Es gilt = 1,414213562373095… Eine Berechnung liefert die folgenden Werte:
n | xn | xn als Dezimalbruch | xn − (gerundet) |
0 | 2 | 2 | 0,5858 |
1 | 3/2 | 1,5 | 0,08579 |
2 | 17/12 | 1,416 | 0,002453 |
3 | 577/408 | 1,41421568627450980392 | 0,000002124 |
zu (b):
Nach dem Hinweis und den Limesregeln gilt (mit x > 0)
x = limn xn = limn xn + 1 = limn 12(xn + axn) = 12(x + ax).
Damit gilt 2x = x + a/x. Auflösen nach x ergibt
x2 = a.
Also ist x = oder x = − . Aus x ≥ 0 ergibt sich x = .