Konvergenzkriterien für Folgen

 Da reelle Folgen Funktionen sind, sind die Monotonie-Begriffe definiert. Eine Folge (xn)n ∈ ℕ ist monoton steigend, falls xn + 1 ≥ xn für alle n gilt. Gilt stärker xn + 1 > xn für alle n, so ist sie streng monoton steigend. Für monotone Folgen gibt es ein einfaches Konvergenzkriterium:

Satz (Konvergenzkriterium für monotone Folgen)

Eine monoton steigende Folge (xn)n ∈ ℕ konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist. In diesem Fall gilt

limn xn  =  supn xn  (= sup({ xn | n  ∈  ℕ }).

Analoges gilt für monoton fallende Folgen mit limn xn = infn xn.

 Der Beweis besteht im Nachweis der Konvergenzbedingung.

Beispiel

Sei m,d1d2d3… ein unendlicher Dezimalbruch. Nach Definition gilt

m,d1d2d3…  =  supn ≥ 1 m, d1 … dn.

Die Folge (m,d1…dn)n ≥ 1 der Näherungsbrüche ist monoton steigend und beschränkt durch m + 1. Folglich ist

m,d1d2d3…  =  limn ≥ 1 m, d1 … dn.

 Wann konvergiert eine beliebige reelle Folge? Zum Nachweis der Konvergenzbedingung müssen wir einen Grenzwert bereits kennen oder „raten“. Es gibt jedoch eine Charakterisierung der Konvergenz, die einen Grenzwert nicht erwähnt. Hierzu definieren wir:

Definition (Cauchy-Folge)

Eine reelle Folge (xn)n ∈ ℕ heißt eine Cauchy-Folge, falls gilt:

∀ε > 0 ∃n0 ∀n,k ≥ n0 |xn − xk| < ε.(Cauchy-Bedingung)

 Die Bedingung besagt, dass sich die Folgenglieder derart verdichten, dass sie schließlich nur noch beliebig wenig voneinander abweichen. Man kann mit Hilfe des Vollständigkeitsaxioms zeigen:

Satz (Charakterisierung der konvergenten Folgen)

Sei (xn)n ∈ ℕ eine Folge in ℝ. Dann sind äquivalent:

(a)

(xn)n ∈ ℕ konvergiert.

(b)

(xn)n ∈ ℕ ist eine Cauchy-Folge.