Die harmonische Reihe
Definition (harmonische Reihe)
Die harmonische Reihe ist die Reihe ∑n ≥ 1 1/n.
Satz (Uneigentliche Konvergenz der harmonischen Reihe)
Die harmonische Reihe konvergiert uneigentlich gegen ∞.
Beweis
Wir fassen die Summanden ab 1/2 in Blöcken der Länge 1, 2, 4, 8, … zusammen. Dann gilt
| 1 + 1/2 + 1/3 + … | = 1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + … |
| ≥ 1 + 1/2 + 2/4 + 4/8 + … | |
| ≥ 1/2 + 1/2 + 1/2 + … | |
| = ∞. |
Die harmonische Reihe wächst sehr langsam. Eine numerische Berechnung offenbart einen engen Zusammenhang mit der Logarithmusfunktion:
Die ersten Partialsummen der harmonischen Reihe ∑n ≥ 1 1/n (gelbe Punkte) im Vergleich mit der Logarithmusfunktion log : ] 0, ∞ [ → ℝ. Man kann zeigen, dass der Grenzwert γ = limn (sn − log(n)) existiert. Die Euler-Mascheroni-Konstante γ berechnet sich numerisch zu
γ = 0,577215664901532860606512090082402431042…