Unendliche Reihen in den komplexen Zahlen

Wie bei den Folgen können wir unendliche Reihen auch wieder in den komplexen Zahlen betrachten:

Wert einer unendlichen Reihe komplexer Zahlen

Sei (z_n)_n ∈ ℕ eine Folge in ℂ. Dann heißt ∑_n z_n = (s_n)_{n  ∈  ℕ} die unendliche Reihe in ℂ mit den Summanden z_n. Dabei ist wieder

s_n = z₀ + … + z_n  ∈  ℂ

die n-te Partialsumme der Folge (z_n)_n ∈ ℕ. Im Fall der Existenz heißt

∑_n z_n = z₀ + … + z_n + … = lim_n s_n  ∈  ℂ

die Summe oder der Wert der Reihe.

Der Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe gilt unverändert:

Satz (Konvergenz und Divergenz der geometrischen Reihen in ℂ)

Für alle z  ∈  ℂ mit |z| < 1 konvergiert ∑_n zⁿ in ℂ und es gilt

∑_n zⁿ = ¹_1 − z.

Für alle z  ∈  ℂ mit |z| ≥ 1 divergiert ∑_n zⁿ in ℂ.

Das Majorantenkriterium und das Quotientenkriterium sind auch für komplexe Reihen gültig. Wie in ℝ erhalten wir:

Satz (Konvergenz der komplexen Exponentialreihen)

Sei z  ∈  ℂ. Dann konvergiert die komplexe Exponentialreihe ∑_n zⁿ/n!

Wir definieren:

Definition (komplexe Exponentialfunktion)

Die komplexe Exponentialfunktion exp : ℂ → ℂ ist definiert durch

exp(z) = ∑_n ^zⁿ_n! = 1 + z + ^z²₂ + ^zⁿ_n! + … für alle z  ∈  ℂ.

Die komplexe Version setzt die reelle Exponentialfunktion fort. Erneut gilt

exp(z + w) = exp(z) + exp(w) für alle z, w  ∈  ℂ,(Additionstheorem)

sodass wir auch wieder e^z statt exp(z) schreiben und exponentiell rechnen können. Die Abbildungseigenschaften der komplexen Exponentialfunktion werden wir im weiteren Verlauf kennenlernen.

Herleitung des Additionstheorems

Das Additionstheorem lässt sich mit einem klassischen (und sehr schönen) Argument direkt aus der Reihendarstellung gewinnen. Dabei verwenden wir, dass wir die Exponentialreihen distributiv ausmultiplizieren und die dabei entstehenden Summanden beliebig umordnen können (dies ist allgemein für alle absolut konvergenten Reihen möglich, wobei die absolute Konvergenz einer Reihe ∑_n a_n in ℝ oder ℂ bedeutet, dass ∑_n |a_n| < ∞). Zusätzlich geht der Binomische Lehrsatz ein:

(z + w)ⁿ = ∑_{k, m ≥ 0 und k + m = n} $( \binom{n}{k} )$ z^k w^m für alle n ≥ 0 und alle z, w  ∈  ℂ

(Dieser Satz lässt sich durch vollständige Induktion nach n beweisen.)

Damit erhalten wir für alle z, w  ∈  ℂ:

exp(z + w)	= ∑_n ≥ 0 ^{(z + w)ⁿ}_n!
	= ∑_n ≥ 0 ∑_{k, m ≥ 0 und k + m = n} $( \binom{n}{k} )$ ^{z^k w^m}_n!
	= ∑_n ≥ 0 ∑_{k, m ≥ 0 und k + m = n} ^n!_{k! m!} ^{z^k w^m}_n!
	= ∑_n ≥ 0 ∑_{k, m ≥ 0 und k + m = n} ^{z^k}_k! ^{w^m}_m!
	= ∑_k ≥ 0 ∑_m ≥ 0 ^{z^k}_k! ^{w^m}_m!
	= (∑_k ≥ 0 ^{z^k}_k!) (∑_m ≥ 0 ^{w^m}_m!)
	= exp(z) exp(w)

Die Summation des Arguments können wir veranschaulichen: Wir platzieren die mit k und m indizierten Summanden auf das ℕ × ℕ-Gitter { (k, m) | k, m ≥ 0 } im ersten Quadranten der Ebene und Summieren entlang der endlichen Diagonalen des Gitters. Auf der n-ten Diagonale ist die Summe k + m der Indizes konstant gleich n.