Stetigkeit für komplexe Funktionen

Die Stetigkeitsbegriffe lassen sich wieder leicht auf komplexe Funktionen übertragen. Wir betrachten hierzu eine Funktion f : P → ℂ, die auf einer Teilmenge P der komplexen Zahlen definiert ist.

Beispiele

(1)	Für f mit f (z) = 1/(i − z) für alle z ≠ i ist P = ℂ − { i }.

(2)	Für f mit f (z) = z³ für alle z  ∈  ℂ ist P = ℂ. Gleiches gilt für die komplexe Konjugation und die komplexe Exponentialfunktion exp.

Die Folgenstetigkeit

Eine Funktion f : P → ℂ heißt folgenstetig an einer Stelle p  ∈  P, falls gilt:

Für alle Folgen (z_n)_n ∈ ℕ in P mit lim_n z_n = p gilt lim_n f (z_n) = f (p).

Wie in ℝ besagt dies, dass Grenzwertbildung und Funktionsanwendung vertauschbar sind:

lim_n f (z_n) = f (p) = f(lim_n z_n).

Die Umgebungsstetigkeit

Eine Funktion f : P → ℂ heißt umgebungsstetig oder Epsilon-Delta-stetig an einer Stelle p  ∈  P, falls gilt:

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀z  ∈  P (|z − p| < δ → |f (z) − f (p)| < ε)(ε-δ-Bedingung)

Anschaulich formuliert:

Für jede noch so kleine ε-Umgebung von f (p) (eine offene Kreisscheibe in ℂ mit Mittelpunkt f (p)) gibt es eine offene δ-Umgebung von p (eine Kreisscheibe in ℂ mit Mittelpunkt p), sodass f alle Punkte in der δ-Umgebung von p in die ε-Umgebung von f (p) transportiert.

Wie im Reellen fallen die beiden Stetigkeitsbegriffe zusammen, sodass wir einfach von „Stetigkeit“ sprechen können. Erneut nennen wir f : P → ℂ stetig, falls f stetig an allen Stellen p  ∈  P ist.

Beispiele

(1)	Alle komplexen Polynome und rationalen Funktionen sind stetig.

(2)	Die komplexe Exponentialfunktion exp : ℂ → ℂ ist stetig.

(3)	Die komplexe Quadratwurzelfunktion sqrt : ℂ⁻ → ℂ ist stetig, wobei ℂ⁻ = ℂ − { x  ∈  ℝ \| x < 0 } (geschlitzte Ebene) und sqrt((r, φ)_polar) = ( $\sqrt{r}$ , π/2)_polar mit r > 0 und φ  ∈  ] −π, π [.