Grenzwerte für Funktionen
Die Differenzierbarkeit ist eine Verstärkung der Stetigkeit. Wie die Stetigkeit ist sie ein lokaler Begriff. Anschaulich bedeutet die Differenzierbarkeit einer Funktion f : P → ℝ an einer Stelle p ihres Definitionsbereichs:
Die Funktion hat an der Stelle p keinen Knick.
Genauer:
Die Funktion lässt sich an der Stelle p gut durch eine Gerade approximieren.
Zur Präzisierung benötigen wir einen Grenzwertbegriff für Funktionen. Er lässt sich erneut auf den Grenzwertbegriff für Folgen zurückführen:
Notation: Grenzwerte für Funktionen
Seien f : P → ℝ und a, p ∈ ℝ. Ein Ausdruck limx → p f (x) = a bedeutet:
(1) | Es gibt eine Folge (xn)n ∈ ℕ in P mit limn xn = p. |
(2) | Für jede Folge (xn)n ∈ ℕ in P mit limn xn = p gilt limn f (xn) = a. |
Allgemeiner lassen wir auch symbolische Stellen p = ± ∞ und Werte a = ± ∞ zu. Oft sind auch zusätzliche Bedingungen nützlich, vor allem
limx ↓ p f (x) = limx → p, x > p f (x), limx ↑ p f (x) = limx → p, x < p f (x)
für die Annäherung von oben (rechts) bzw. unten (links) an p.
Stellen im Definitionsbereich und am Rand
Die Bedingung (1) ist immer erfüllt, wenn p ∈ P. Sie ist aber auch erfüllt, wenn p ein Grenzpunkt von P ist (und dies ist der interessantere Fall). So gilt die Bedingung etwa für P = ] 0, 1 [ und die Stellen p = 0, 1/2, 1. Gilt limx → p f (x) = a für ein p ∈ P, so ist notwendig a = f (p) (da die konstante Folge (p)n ∈ ℕ in P ist). In diesem Fall ist also f stetig in p.
Beispiele
(1) | limx → 0 x2 = 0 = 02 |
(2) | limx → −1 x2 − 1x + 1 = limx → −1 (x + 1) (x − 1)x + 1 = limx → −1 (x − 1) = −2. |
(3) | limx ↓ 0 1/x = limx → 0, x > 0 1/x = ∞ limx ↑ 0 1/x = limx → 0, x < 0 1/x = −∞ limx ↓ 0 log(x) = −∞, limx ↑ 0 log(x) ist nicht erklärt |
(4) | limx → ∞ 1/x = 0, limx → ∞ = ∞ |