Taylor-Polynome
Der Leser kann an dieser Stelle wahrscheinlich raten, wie es weitergeht: Wir können auch die dritten, vierten, fünften, … Ableitungen an der betrachten Stelle zur Übereinstimmung bringen, um unsere Approximationen weiter zu verbessern.
Definition (Taylor-Polynome)
Sei f : P → ℝ n-mal differenzierbar bei p ∈ P. Dann ist das Taylor-Polynom Tnpf : ℝ → ℝ der Ordnung n von f im Entwicklungspunkt p definiert durch
| Tnpf (x) | = f (p) + f ′(p) (x − p) + f ″(p)2! (x − p)2 + … + f (n)(p)n! (x − p)n |
| = ∑k ≤ n f (k)(p)k! (x − p)k für alle x ∈ ℝ. |
Nach Konstruktion stimmen die ersten n Ableitungen von f und Tnpf bei p überein. Ist f (n)(p) ≠ 0, so ist Tnpf ein Polynom n-ten Grades, andernfalls ist der Grad kleiner als n. Die n+1-Ableitung von Tnpf ist immer die Nullfunktion.
Beispiele
T0pf (x) = f (p)(konstante Approximation)
T1pf (x) = f (p) + f ′(p)(x − p)(Tangente)
T2pf (x) = f (p) + f ′(p)(x − p) + f ″(p)2 (x − p)2(Schmiegeparabel)
T3pf (x) = f (p) + f ′(p)(x − p) + f ″(p)2 (x − p)2 + f (3)(p)6 (x − p)3(Ordnung 3)
Wir schreiben o((x − p)n) bei einer Konvergenz von x gegen p für eine Funktion r mit limx → p r(x)/(x − p)n = 0. Es gilt:
Satz (Satz von Peano)
Sei f : P → ℝ n-mal differenzierbar an der Stelle p ∈ P. Dann gilt:
f (x) = Tnpf (x) + o((x − p)n) für x → p.
Das Taylor-Polynom Tnpf ist unter allen Polynomen mit Grad kleinergleich n die bestmögliche Approximation an f an der Stelle p. Es ist durch die ersten n Ableitungen von f an der Stelle p eindeutig bestimmt. Ein winziger Ausschnitt von f um p legt bereits alle Taylor-Polynome fest. Vernachlässigen wir den Fehler o((x − p)n), so enthält dieser Ausschnitt die Zukunft und Vergangenheit der Funktion.
Die Tangente g, Schmiegeparabel h und das Taylor-Polynom dritten Grades k der oben betrachteten Funktion f an der Stelle p
Die Restfunktion r(x) = f (x) − k(x) konvergiert schneller als dritten Grades gegen Null, wenn x gegen p strebt. Gestrichelt ist wieder der Quotient r(x)/(x − p)3 eingezeichnet.
Bemerkung
Für die obigen Diagramme wurde die Funktion
f (x) = x2 − 1/2 (x − 6/10)3 + 1/5 sin(6x + π/4) + 1/3 cos(5x + π/7)
und der Entwicklungspunkt p = 1 verwendet. Numerisch gerundet ergibt sich
k(x) = 1,288 + 4,047 (x − 1) − 4,131 (x − 1)2 − 11,96 (x − 1)3