Taylor-Reihen

 Wir haben bislang Taylor-Polynome einer beliebigen Ordnung n betrachtet. Nun gehen wir noch einen Schritt weiter und bilden unendliche Reihen.

Definition (Taylor-Reihe)

Sei f : P → ℝ beliebig oft differenzierbar an der Stelle p  ∈  P. Dann ist die Taylor-Reihe Tpf von f im Entwicklungspunkt p definiert durch

Tpf (x) =  f (p)  +  f ′(p)(x − p)  +  f ″(p)2 (x − p)2  +  …  +  f (n)(p)n! (x − p)n  +  …
=  ∑n f (n)(p)n! (x − p)n  für alle x  ∈  ℝ.

Neu im Vergleich zu den bisherigen Konstruktionen ist:

Das Konvergenzproblem für Taylor-Reihen

Die Taylor-Polynome hatten wir in der Form Tnpf : ℝ → ℝ notiert. Eine Taylor-Reihe können wir im Allgemeinen nicht mehr als Funktion von ℝ nach ℝ schreiben. Durch die Bildung einer unendlichen Summe stellt sich für jedes x  ∈  ℝ die Frage der Konvergenz der Reihe Tpf (x). Der Leser vergleiche die geometrische Reihe ∑n xn, die nur im Intervall ] −1, 1 [ konvergiert. Eine Taylor-Reihe ist damit zunächst nur eine von x abhängige unendliche Reihe (eine Folge von Partialsummen) und noch keine reelle Funktion. Wir nennen die Menge

K  =  Kf, p  =  { x  ∈  ℝ | Tpf (x) konvergiert }

den Konvergenzbereich der Taylor-Reihe für f im Entwicklungspunkt p. Die Reihe Tpf (x) lässt sich nun als Funktion von K nach ℝ auffassen. Der Punkt p liegt immer in K, da Tpf (p) = f (p). Alles Weitere muss von Fall zu Fall untersucht werden.

 Das Ziel der Reihen-Entwicklung ist, eine Funktion in einer möglichst großen Umgebung des Entwicklungspunkts als Potenzreihe der Form ∑n an(x − p) xn darzustellen, d. h. für viele x eine exakte Übereinstimmung Tpf (x) = f (x) zu erreichen, ohne jeden noch so kleinen Fehler. Die Restfunktion soll die Nullfunktion sein.

 Wenn es überhaupt eine Darstellung von f als Potenzreihe (als „unendliches Polynom“) gibt, so muss es die Taylor-Reihe sein. Denn durch gliedweises Differenzieren ergibt sich, dass die Koeffizienten an die Form f (n)(p)/n! haben. Damit verfolgen wir den richtigen Ansatz.

 Im Idealfall lässt sich die gesamte Funktion als Potenzreihe (gleichwertig: Taylor-Reihe) darstellen. Wir betrachten hierzu einige Beispiele.