Lösungen zu den Übungen

Übung 1

(a)	Berechnen Sie die Taylor-Polynome der Ordnung 1, 2 und 3 der Funktion sqrt : [ 0, ∞ [ → ℝ mit sqrt(x) = $\sqrt{x}$ für alle x ≥ 0 im Entwicklungspunkt p = 1.

(b)	Skizzieren Sie sqrt und die berechneten Taylor-Polynome in einem Diagramm.

Lösung zur Übung 1

zu (a):

Die ersten Ableitungen von sqrt berechnen sich zu

sqrt⁽⁰⁾(x) = $\sqrt{x}$ = x^1/2

sqrt⁽¹⁾(x) = $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ = ¹₂ x^{− 1/2}

sqrt⁽²⁾(x) = − ¹_{4 x^3/2} = − ¹₄ x^{− 3/2}

sqrt⁽³⁾(x) = ³_{8 x^5/2} = ³₈ x^{− 5/2}

Die Auswertung am Entwicklungspunkt ergibt die Werte

sqrt(1) = 1

sqrt⁽¹⁾(1) = 1/2

sqrt⁽²⁾(1) = − 1/4

sqrt⁽³⁾(1) = 3/8

Damit erhalten wir die Taylor-Polynome

T¹₁(x) = 1 + ^x − 1₂

T²₁(x) = 1 + ^x − 1₂ − ^{(x − 1)²}₈

T³₁(x) = 1 + ^x − 1₂ − ^{(x − 1)²}₈ + ^{(x − 1)³}₁₆

zu (b):

Die Quadratwurzelfunktion sqrt und ihre Taylor-Polynome f_n für die Ordnungen 1, 2 und 3 im Entwicklungspunkt p = 1.

Ergänzung: Durch die Taylor-Polynome f_n höherer Ordnungen (im Diagramm 50, 51, 100, 101) wird der Konvergenzbereich [ 0, 2 ] der Taylor-Reihe sichtbar.

Übung 2

Sei f : ℝ → ℝ definiert durch

f (x) = 2 x⁴ − 3 x³ + x² − x + 2 für alle x  ∈  ℝ.

Bringen Sie das Polynom f durch Taylor-Entwicklung im Entwicklungspunkt 1 in die Form

f (x) = a₄ (x − 1)⁴ + a₃ (x − 1)³ + a₂ (x − 1)² + a₁ (x − 1) + a₀ für alle x  ∈  ℝ.

Lösung zur Übung 2

Die Ableitungen von f berechnen sich zu

f ⁽⁰⁾(x) = 2 x⁴ − 3 x³ + x² − x + 2

f ⁽¹⁾(x) = 8 x³ − 9 x² + 2 x − 1

f ⁽²⁾(x) = 24 x² − 18 x + 2

f ⁽³⁾(x) = 48 x − 18

f ⁽⁴⁾(x) = 48

f ⁽ⁿ⁾(x) = 0 für alle n ≥ 5.

Die Auswertung der Ableitungen an der Stelle 1 ergibt:

f ⁽⁰⁾(1) = 2 − 3 + 1 − 1 + 2 = 1

f ⁽¹⁾(1) = 8 − 9 + 2 − 1 = 0

f ⁽²⁾(1) = 24 − 18 + 2 = 8

f ⁽³⁾(1) = 48 − 18 = 30

f ⁽⁴⁾(1) = 48

f ⁽ⁿ⁾(1) = 0 für alle n ≥ 5.

Damit erhalten wir

f (x)	= ⁴⁸₂₄ (x − 1)⁴ + ³⁰₆ (x − 1)³ + ⁸₂ (x − 1)² + 0 (x − 1) + 1
	= 2 (x − 1)⁴ + 5 (x − 1)³ + 4 (x − 1)² + 0 (x − 1) + 1

Bemerkung

Mit dieser Methode können wir für alle p, q  ∈  ℝ ein Polynom der Form ∑_k ≤ n a_k (x − p)^k in die Form ∑_k ≤ n b_k (x − q)^k bringen (ohne Ausmultiplizieren). Sind alle Koeffizienten a_k ganzzahlig, so gilt dies auch für alle b_k.

Übung 3

(a)	Zeigen Sie durch gliedweises Differenzieren der Kosinus- und Sinus-Reihe, dass cos′ = − sin und sin′ = cos.

(b)	Folgern Sie, dass cos″ = − cos und sin″ = − sin.

(c)	Geben Sie weitere Beispiele für Funktionen f : ℝ → ℝ an, die die Differentialgleichung f ″ = − f erfüllen.

Lösung zur Übung 3

Für alle x  ∈  ℝ gilt:

cos (x) = ∑_n (−1)ⁿ ^x²ⁿ_(2n)!, sin (x) = ∑_n (−1)ⁿ ^{x^2n + 1}_(2n + 1)!

zu (a): Gliedweises Differenzieren der Kosinus-Reihe ergibt

^d_dx cos(x)	= ∑_n ^d_dx (−1)ⁿ ^x²ⁿ_(2n)! = ∑_n ≥ 1 (−1)ⁿ 2n ^{x^2n− 1}_(2n)!
	= ∑_n ≥ 1 (−1)ⁿ ^{x^2n− 1}_{(2n − 1)!} = ∑_n ≥ 0 (−1)^n + 1 ^{x^2n + 1}_(2n + 1)!
	= − ∑_n ≥ 0 (−1)ⁿ ^{x^2n + 1}_(2n + 1)! = − sin(x).

Für den Sinus argumentieren wir zur Illustration in Pünktchenform:

^d_dx sin(x)	= ^d_dx( x − ^x³_3! + ^x⁵_5! − ^x⁷_7! ± … )
	= 1 − 3 ^x²_3! + 5 ^x⁴_5! − 7 ^x⁶_7! ± …
	= 1 − ^x²_2! + ^x⁴_4! − ^x⁶_6! ± … = cos(x)

zu (b): Aus (a) folgt cos″ = (− sin)′ = − sin′ = − cos, sin″ = cos′ = − sin.

zu (c): Nach Linearität der Ableitungen erfüllt auch sin(x) + cos(x) die Gleichung f ″ = f. Das Gleiche gilt für jede Linearkombination

(+) a sin(x) + b cos(x) mit a, b  ∈  ℝ beliebig.

Auch die Funktionen

(++) c cos(x + d), c sin(x + d) mit c, d  ∈  ℝ beliebig

sind Lösungen der Gleichung f ″ = f. Diese Funktionen sind andere Darstellungsformen der Funktionen in (+).

Übung 4

Zeigen Sie durch Induktion nach n ≥ 1, dass

log⁽ⁿ⁾ (x) = (−1)^n − 1 (n − 1)! ¹_xⁿ für alle x > 0.

Lösung zur Übung 4

Induktionsanfang n = 1:

Für x > 0 gilt

^d_dx log(x) = ¹_x = (−1)^1 − 1 (1 − 1)! ¹_x¹.

Induktionsschritt von n nach n + 1:

Es gelte

log⁽ⁿ⁾ (x) = (−1)^n − 1 (n − 1)! ¹_xⁿ für alle x > 0 (Induktionsvoraussetzung).

Dann gilt für x > 0:

log^(n + 1) (x)	= ^d_dx log⁽ⁿ⁾(x)
	= _I. V. ^d_dx (−1)^n − 1 (n − 1)! ¹_xⁿ
	= (−1)^n − 1 (n − 1)! (− n) ¹_x^n + 1
	= (−1)^n − 1 (−1) (n − 1)! n ¹_x^n + 1
	= (−1)ⁿ n! ¹_x^n + 1