Elementare Eigenschaften des Integrals
Wir versammeln einige Eigenschaften des Integrals. Hierzu vereinbaren wir:
Rückwärtsintegral
Ist f : [ a, b ] → ℝ integrierbar, so setzen wir
∫ab f = − ∫ba f (Rückwärtsintegral)
Satz (Eigenschaften des Integrals)
Für alle integrierbaren Funktionen f, g : [ a, b ] → ℝ, alle c, d, t ∈ ℝ und alle s ∈ [ a, b ] gilt:
(1) | ∫bac dx = c (b − a) (konstante Integrale) |
(2) | ∫ba c f (x) + d g(x) dx = c ∫baf (x) dx + d ∫bag(x) dx (Linearität) |
(3) | ∫baf (x) dx ≤ ∫bag(x) dx, falls f (x) ≤ g(x) für alle x ∈ [ a, b ](Monotonie) |
(4) | ∫baf (x) dx = ∫saf (x) dx + ∫bsf (x) dx (Aufspaltung) |
(5) | ∫baf (x) dx = ∫b + ca + c f(x − c) dx (Translation) |
(6) | ∫baf (x) dx = ∫−a−b f (−x) dx (Spiegelung) |
Beweisskizze
Die Eigenschaften sind für Riemann-Summen leicht einzusehen. So gilt zum Beispiel für jede Partition p = (tk, xk)k < n von [ a, b ]:
| ∑p (c f + d g) | = ∑k < n (c f (xk) + d g(xk)) (tk + 1 − tk) |
| = ∑k < n c f (xk) (tk + 1 − tk) + ∑k < n d g(xk) (tk + 1 − tk) | |
| = ∑p c f + ∑p d g = c ∑p f + d ∑p g. |
Durch einen Grenzübergang übertragen sich die Eigenschaften von Riemann-Summen auf Integrale.
Für integrierbare Funktionen f, g : [ a, b ] → ℝ gilt
∫ba f (x) + g(x) dx = ∫baf (x) dx + ∫bag(x) dx
Diese Additivität des Integrals ist ein Spezialfall der Linearität (mit c = d = 1). Anschaulich besagt die Additivität, dass die Inhalte der beiden im Diagramm gezeigten Flächen (zwischen f + g und g bzw. g und der x-Achse) übereinstimmen. Bildhaft: Wenn die obere Fläche senkrecht herunterfällt, wird sie zur unteren Fläche.
Zur Spiegelungseigenschaft: Für eine integrierbare Funktion f : [ a, b ] → ℝ gilt
∫ba f (x) dx = ∫-a-b g(x) dx
wobei g : [ −b, −a ] → ℝ mit g(x) = f (−x) die Spiegelung von f an der x-Achse ist.