Übungen

Übung 1

Sei f : [ 0, 1 ] → ℝ mit f (x) = x für alle x  ∈  [ 0, 1 ]. Für alle n ≥ 1 sei pn die äquidistante Partition von [ 0, 1 ] der Länge n mit linksseitigen Stützstellen.

(a)

Erstellen Sie ein Diagramm, das die Situation übersichtlich darstellt.

(b)

Berechnen Sie die Riemann-Summen ∑pn f  für alle n ≥ 1.

(c)

Zeigen Sie, dass limn ∑pn f  =  1/2.

Übung 2

Sei b > 0, und sei f : [ −b, b ] → ℝ integrierbar. Zeigen Sie mit Hilfe der elementaren Eigenschaften des Integrals:

(a)

Ist f gerade, d. h. f (x) = f (−x) für alle x, so gilt

∫b−b f (x) dx  =  2 ∫b0 f (x) dx.

(b)

Ist f ungerade, d. h. f (−x) = − f (x) für alle x, so gilt

∫b−b f (x) dx  =  0.

Übung 3

Seien f, F : [ −1, 1 ] → ℝ die Funktionen mit

f (x)  =  1−x2,  F(x)  =  12(x 1−x2  +  arcsin(x))  für alle x  ∈  [−1, 1 ].

(a)

Zeigen Sie, dass F eine Stammfunktion von f ist.

(b)

Berechnen Sie ∫1−1 f (x) dx  mit Hilfe des Hauptsatzes.

(c)

Welcher Wert ergibt sich für den Flächeninhalt des Einheitskreises? Begründen Sie Ihre Antwort.

Übung 4

Sei f : [ −1, 1 ] → ℝ mit f (x) = 1−x2 für alle x  ∈  [ −1, 1 ] (vgl. die vorangehende Übung). Berechnen Sie mit Hilfe eines Taschenrechners oder Computers einige aussagekräftige Riemann-Summen von f in numerischer Form. Vergleichen Sie die Ergebnisse mit dem exakten Ergebnis. Geben Sie Ihre Berechnungen in einer Tabelle an.

[ Für die Riemann-Summen können Sie je nach verfügbaren Hilfsmitteln zum Beispiel die äquidistanten Partitionen von [ −1, 1 ] mit mittigen oder linksseitigen Stützstellen der Längen 10, 20, 50, 100 und 1000 verwenden. ]