Die Integration rationaler Funktionen
Die Integration von Polynomen ist aufgrund der Linearität des Integrals und
∫ xn dx = xn + 1n + 1 für alle n ∈ ℕ Integration von Monomen
unproblematisch. Die ersten Schwierigkeiten tauchen bei den rationalen Funktionen auf. Eine rationale Funktion besitzt im Allgemeinen keine rationale Stammfunktion. Prominent sind hier
∫ 1x dx = log(|x|), ∫11 + x2 = arctan(x).
Eine wichtige Technik bei der Integration rationaler Funktionen ist die Partialbruchzerlegung, mit deren Hilfe eine rationale Funktion durch additives Abspalten ihrer Pole als Summe einfach zu integrierender Funktionen dargestellt werden kann. Wir betrachten einige typische Beispiele (vgl. auch die Übungen).
Beispiel: Einfacher Pol
Wir suchen reelle Zahlen a, b mit
1x(x + 1) = ax + bx + 1 = a(x + 1) + bxx(x + 1) = (a + b)x + ax(x + 1).
Durch Koeffizientenvergleich erhalten wir das Gleichungssystem a + b = 0, a = 1. Die eindeutige Lösung ist a = 1, b = −1, sodass
∫1x (x + 1) dx = ∫ 1x dx + ∫ −1x + 1 dx = log(|x|) − log(|x + 1|).
Die Funktionen f, F mit f (x) = 1/(x (x + 1)), F(x) = log(|x| − log(|x + 1|) für x ∉ { −1, 0 }
Beispiel: Mehrfacher Pol
Wir suchen reelle Zahlen a, b, c mit
| x2 + 1(x − 1)3 | = a(x − 1)3 + b(x − 1)2 + cx − 1 |
| = a + b (x − 1) + c (x − 1)2(x − 1)3 = cx2 + (b − 2c) x + a − b + c(x − 1)3 |
Ein Koeffizientenvergleich in
cx2 + (b − 2c)x + a − b + c = x2 + 0x + 1.
ergibt c = 1 und weiter a = b = 2. Damit ist
| ∫ x2 + 1(x − 1)3 dx | = ∫ 2(x − 1)3 dx + ∫ 2(x − 1)2 dx + ∫ 1x − 1 dx |
| = − 1(x − 1)2 − 2(x − 1) + log(|x − 1|). |
Die Funktionen f, F : ℝ − { 1 } → ℝ mit
f (x) = x2 + 1(x − 1)3, F(x) = − 1(x − 1)2 − 2(x − 1) + log(|x − 1|)