Optimale Substitutionen
Ist f : J → ℝ stetig und s : I → J stetig differenzierbar und bijektiv, so gilt
∫ f (x) dx = ∫ f (s(t)) s′(t) dt mit x = s(t), t = s−1(x)(in Termnotation)
∫x = bx = a f (x) dx = ∫t = s−1(b)t = s−1(a) f (s(t)) s′(t) dt
Im Idealfall ist der Integrand auf rechten Seite die konstante Funktion 1, d. h.
(+) f (s(t)) s′(t) = 1
Eine Substitutionsfunktion s mit dieser Eigenschaft nennen wir eine optimale Substitution für f. Eine solche Substitution verformt die Fläche unter f flächentreu in eine Rechtecksfläche der Höhe 1. Die Integration wird dadurch trivial: Als Stammfunktion von f (x) erhalten wir s−1(x) und ein bestimmtes Integral von a nach b über f berechnet sich zu s−1(b) − s−1(a). Eine optimale Substitution ist damit einfach die Umkehrfunktion einer Stammfunktion von f. Diese Überlegung illustriert, warum ist im Allgemeinen nicht leicht ist, einen Integranden durch eine Substitution zu vereinfachen: Die bestmögliche Vereinfachung ist, abgesehen von einer Invertierung, bereits die gesuchte Lösung. Suboptimale Substitutionen können wir als Annäherung an die gesuchte Lösung ansehen.
Aufgrund der anschaulichen geometrischen Bedeutung ist es instruktiv, einige Beispiele mit zugehören Flächendiagrammen zu betrachten.
Beispiele
(1) | Sei f : ℝ → ℝ mit f (x) = x2. Dann ist s : ℝ → ℝ mit s(t) = 3 = (3t)1/3 für alle t ∈ ℝ optimal für f. Denn es gilt f (s(t)) s′(t) = ((3t)1/3)2 · 13 · (3t)−2/3 · 3 = 13 · 3 = 1. |
(2) | Sei f : ] −1, 1 [ → ℝ mit (1 + x2)−1. Dann ist s : ] −π/2, π/2 [ → ℝ mit s(t) = tan(t) optimal für f: f (s(t)) s′(t) = 11 + tan(t)2 cos2(t) = 1cos2(t) + sin2(t) = 1. |
(3) | Sei f : ] −1, 1 [ → ℝ mit (1 − x2)−1/2. Dann ist s : ] −π/2, π/2 [ → ] −1, 1 [ mit s(t) = sin(t) optimal für f (vgl. die Übungen). |
Die Einheitsparabel f (x) = x2 auf [ −3, 3 ]
Die Funktion g mit g(t) = f (s(t)) s′(t) = 1 auf [ −9, 9 ] mit der optimalen Substitution
s(t) = (3t)1/3 für t ∈ [ −9, 9 ]
Die Funktion f mit f (x) = 1/(1 + x2) auf [ −3, 3 ]
Die Funktion g mit g(t) = f (s(t)) s′(t) = 1 auf [ −arctan(3), arctan(3) ] mit der optimalen Substitution
s(t) = tan(t) für t ∈ [−arctan(3), arctan(3) ] (mit arctan(3) ∼ 1.25)