Trigonometrische Polynome und Reihen
In Analogie zu Polynomen und Potenzreihen definieren wir:
Definition (trigonometrisches Polynom)
Sind a0, …, an, b1, …, bn reelle Zahlen mit an ≠ 0 oder bn ≠ 0, so heißt
a02 + ∑1 ≤ k ≤ n (ak cos(kx) + bk sin(kx))
das trigonometrische Polynom vom Grad n mit den Koeffizienten a0, …, an und b1, …, bn.
Der Grad entspricht der höchsten auftretenden Frequenz. Die Koeffizienten geben die Amplituden der beteiligten Schwingungen an.
Definition (trigonometrische Reihe)
Sind (an)n ≥ 0 und (bn)n ≥ 1 Folgen reeller Zahlen, so heißt
a02 + ∑n ≥ 1 (an cos(nx) + bn sin(nx))
die trigonometrische Reihe mit den Kosinus-Koeffizienten (an)n ≥ 0 und den Sinus-Koeffizienten (bn)n ≥ 1.
Dass wir den ersten Koeffizienten in der Form a0/2 schreiben wird durch die Berechnungsformeln unten klar werden (wir können durch die Halbierung eine Fallunterscheidung vermeiden, sodass die Formeln einfacher werden).
Jedes trigonometrische Polynom können wir als reelle 2π-periodische Funktion auf ganz ℝ auffassen. Bei den Reihen stellt sich wieder die Frage nach der Konvergenz. Eine trigonometrische Reihe definiert nur für die Stellen, an denen sie konvergiert, eine Funktion.
Trigonometrische Polynome vom Grad 1.
Sie lassen sich in die Form a + b cos(x + c) bringen (vgl. die Übungen).
Zwei trigonometrische Polynome vom Grad 2 bzw. 3
(nach Kosinus- und Sinus-Termen geordnet)
Zwei trigonometrische Polynome vom Grad 4 bzw. 5
Weitere Beispiele mit Grad 4 und 5
Beispiele mit stark abklingenden Amplituden
Die Summanden der alternierenden harmonischen Reihe als Kosinus-Koeffizienten
Analog mit Sinus-Koeffizienten