Komplexe Fourier-Reihen

Noch eleganter, übersichtlicher und nicht zuletzt auch rechnerisch einfacher werden Fourier-Reihen, wenn wir komplexe Zahlen und die komplexe Exponentialfunktion verwenden. Wir führen dies in mehreren Schritten durch.

Schritt 1: Die komplexe Darstellung einer reellen Fourier-Reihe

Für alle a, b  ∈  ℝ und k ≥ 0 gilt:

cos(nx) = Re(e^i n x) = ^{e^i n x + e^{− i n x}}₂, sin(nx) = Im(e^i n x) = ^{e^i n x − e^{− i n x}}_2i.

Mit i⁻¹ = −i erhalten wir

a cos(nx) + b sin(nx) = ^{a − i b}₂ e^i n x + ^a + i b₂ e^−i n x.

Setzen wir also für zwei Folgen (a_n)_n ≥ 0 und (b_n)_n ≥ 1

c₀ = ^a₀₂, c_n = ^{a_n − i b_n}₂, c_− n = c_n für alle n ≥ 1,

so erhalten wir die komplexe Darstellung einer reellen trigonometrischen Reihe:

^a₀₂ + ∑_n ≥ 1 (a_n cos(nx) + b_n sin(nx)) = ∑_{k  ∈  ℤ} c_k e^{i k x}.

Dabei vereinbaren wir für die Summe auf der rechten Seite:

Konvention

Eine Reihe ∑_{k  ∈  ℤ} z_k komplexer Zahlen hat die Partialsummen ∑_{− n ≤ k ≤ n} z_k. Im Fall der Existenz bezeichnet ∑_{k  ∈  ℤ} z_k auch wieder den Grenzwert der Partialsummen. Insgesamt gilt also ∑_{k  ∈  ℤ} z_k = z₀ + ∑_n ≥ 1 (z_n + z_−n).

Zusammenfassung: Übersetzung zwischen reeller und komplexer Form

Die Reihen

(1)	^a₀₂ + ∑_n ≥ 1 (a_n cos(nx) + b_n sin(nx)) mit Folgen (a_n)_n ≥ 0, (b_n)_n ≥ 1 in ℝ

(2)	∑_{k  ∈  ℤ} c_k e^{i k x} mit einer Folge (c_k)_{k  ∈  ℤ} in ℂ mit c_−n = c_n für alle n  ∈  ℕ

entsprechen einander durch die Beziehungen:

(1) ↷ (2): c₀ = ^a₀₂, c_k = ^{a_k − i b_k}₂, c_− k = c_k für alle k ≥ 1

(2) ↷ (1): a₀ = 2c₀, a_k = Re(2c_k), b_k = − Im(2c_k) für alle k ≥ 1

Schritt 2: Das Integral für komplexwertige Funktionen

Als Nächstes erweitern wir unser Integral auf komplexwertige Funktionen. Dies ist in einfacher Weise möglich:

Definition (Integration komplexwertiger Funktionen)

Eine Funktion f : [ a, b ] → ℂ heißt integrierbar, falls die reellen Funktionen Re(f) : [ a, b ] → ℝ und Im(f) : [ a, b ] → ℝ dies sind. In diesem Fall heißt

I(f) = ∫^b_af = ∫^b_af (x) dx = ∫^b_aRe(f) + i ∫^b_aIm(f)   ∈  ℂ

das Integral von f. Analog ist das unbestimmte Integral definiert.

Das Integral einer Funktion f : [ a, b ] → ℂ ist eine komplexe Zahl, der Definitionsbereich ist bis bislang ein reelles Intervall. Das wichtigste Beispiel ist:

Beispiel

∫e^i x dx = ∫cos(x) dx + i ∫sin(x) dx = −sin(x) + i cos(x) = − i e^i x.

Den Orthogonalitätssatz können wir nun sehr einfach elegant und beweisen. Vorab definieren wir:

Definition (Kronecker-Symbol,)

Für beliebige Objekte x, y ist das Kronecker-Symbol oder Kronecker-Delta δ_{x, y} definiert durch:

δ_{x, y} = 1, falls x = y, δ(x, y) = 0, falls x ≠ y.

Damit formulieren wir:

Satz (Orthogonalitätssatz, komplexe Version)

Für alle k, n  ∈  ℤ gilt:

¹_2π ∫^2π₀e^i n x e^−i k x dx = δ_n,k.

Beweis

Für n = k ist e^i n x e^−i k x = e^i 0 x = 1 = δ_n,k und die Aussage klar. Für n ≠ k ist

e^i n x e^−i k x = e^i m x mit m = n − k ≠ 0.

Damit gilt

∫^2π₀e^i m x dx = ${\frac{1}{i m} e^{i m x}|}_{x = 0}^{x = 2 π}$ = ¹_i m − ¹_i m = 0 = δ_n,k.

Schritt 3: Die komplexe Koeffizientenformel

Nun können wir die Berechnungsformeln für die Fourier-Koeffizienten neu formulieren. Die Kosinus- und Sinus-Formeln werden dabei verschmolzen:

Satz (komplexe Fourier-Koeffizienten)

Sei f : ℝ → ℝ 2π-periodisch und integrierbar auf [ 0, 2π ], und sei ∑_{k  ∈  ℤ} c_k e^i k x die komplexe Darstellung der Fourier-Reihe von f. Dann gilt

c_k = ¹_2π ∫^2π₀f (x) e^−i k x dx für alle k  ∈  ℤ.

Beweis

Für k = 0 folgt die Aussage aus e^i k x = 1 und 2c₀ = a₀. Für k > 0 gilt

2πc_k	= π(a_k − i b_k) = ∫^2π₀f (x) cos(k x) dx − i ∫^2π₀f (x) sin(k x) dx
	= ∫^2π₀Re(f (x) e^{− i k x}) dx + i ∫^2π₀Im(f (x) e^−i k x) dx
	= ∫^2π₀f (x) e^−i k x dx.

Für k < 0 wird der Beweis analog geführt.

Schritt 4: Die Fourier-Reihe einer komplexwertigen Funktion

Bislang sind Fourier-Reihen nur für reellwertige Funktionen definiert. Unsere Formeln legen folgende Erweiterung auf komplexwertige Funktionen nahe:

Definition (Fourier-Reihe einer komplexwertigen Funktion)

Sei f : ℝ → ℂ 2π-periodisch und integrierbar auf [ 0, 2π ]. Dann heißen die komplexen Zahlen

c_k = ¹_2 π ∫^2π₀f (x) e^−i k x dx für alle k  ∈  ℤ

die Fourier-Koeffizienten von f. Weiter heißt

FS(f)(x) = ∑_{k  ∈  ℤ} c_k e^i k x

die Fourier-Reihe von f.

Es gilt FS(f) = FS(Re(f)) + i FS(Im(f)), sodass wir eine komplexe Fourier-Reihe in zwei reelle Fourier-Reihen zerlegen können. Für eine komplexwertige Funktion f : ℝ → ℂ gilt aber im Allgemeinen nicht mehr, dass c_−n = c_n für alle n  ∈  ℕ.