Visualisierung komplexer Fourier-Reihen
Eine 2π-periodische Funktion f : ℝ → ℂ können wir visualisieren, indem wir die Einschränkung von f auf ein Intervall der Periodenlänge 2π als Punktmenge der Ebene zeichnen. Für das Intervall ] −π, π ] ergibt sich
P = { (t, f (t)) | t ∈ ] −π, π ] } ⊆ ℝ2.
Für jedes andere halboffene Intervall der Länge 2π erhalten wir aufgrund der Periodizität von f dieselbe Menge P, sie wird lediglich anders durchlaufen. (Der Leser vergleiche hierzu auch das Kapitel über Kurven im Abschnitt über mehrdimensionale Analysis.)
Zusätzlich zu f können wir einige komplexe Fourier-Approximationen
fn(x) = FSn(f)(x) = ∑−n ≤ k ≤ n ck ei k x
visualisieren, wobei die komplexen Zahlen ck die Fourier-Koeffizienten von f sind. Insgesamt erhalten wir dadurch sowohl einen Eindruck von der Güte der Approximation als auch von der Natur komplexer trigonometrischer Polynome (Funktionen der Form ∑−n ≤ k ≤ n ck ei k x mit ck ∈ ℂ für k = −n, …, n).
Einige Fourier-Approximationen der 2π-periodischen Funktion f : ℝ → ℂ mit
f (t) = −t + i t für 0 ≤ t < π/2, f (t) = − t + i (π − t) für π/2 ≤ t < π},
f (t) = π/2 + t − i (t + π) für − π ≤ t < − π/2, f (t) = t + π/2 + i t für −π/2 ≤ t < 0}
Die Fourier-Approximationen der Ordnungen n = 1, 2, 3 der 2π-periodischen Funktion f : ℝ → ℂ mit
f (t) = t cos(t) + i t sin(t) für t ∈ [ 0, 2π [
Die Funktion durchläuft ausgehend vom Nullpunkt eine Spirale gegen den Uhrzeigersinn.
Bei höheren Approximationen zeigen sich auch im Komplexen Überschwingungen. Die Funktion f ist bei 0 (und allgemein k2π für alle k ∈ ℤ) unstetig.
Analog für die Funktion f mit f (t) = t cos(t) + i 2 t sin(t) für t ∈ ] −π, π ]