Die Skalarmultiplikation
Reelle Vektoren lassen sich mit einer reellen Zahl multiplizieren:
Definition (Skalarmultiplikation)
Wir setzen für alle λ ∈ ℝ und alle v ∈ ℝn:
λ v = (λ v1, …, λ vn) [ gelesen: λ mal v, Skalarprodukt λ mal v ].
Wir nennen λ v die Multiplikation des Vektors v mit dem Skalar λ.
Wir verwenden bevorzugt griechische Buchstaben wie λ, μ für Skalare.
Beispiele
(1) | 2 (1, 2, 1) = (2, 4, 2) |
(2) | (−1) (4, −1, 2, 0, 0) = (−4, 1, −2, 0, 0) |
(3) | Für alle λ ∈ ℝ gilt λ0 = 0 (mit dem Nullvektor 0). |
(4) | Seien λ ∈ ℝ und i ∈ { 1, …, n }. Dann gilt für den Einheitsvektor ei ∈ ℝn: λ ei = λ (0, …, 0, 1, 0, …, 0) = (0, …, 0, λ, 0, …, 0). Dabei stehen die Komponenten 1 und λ an der Stelle i. |
(5) | Für alle v ∈ ℝn gilt v = (v1, …, vn) = (v1, 0, …, 0) + (0, v2, 0, …, 0) + … + (0, …, 0, vn) = v1 (1, 0, …, 0) + v2 (0, 1, 0, …, 0) + … + vn (0, …, 0, 1) = v1 e1 + v2 e2 + … + vn en. |
Die Darstellung
v = v1 e1 + v2 e2 + … + vn en = ∑1 ≤ k ≤ n vk ek
eines Vektors v des ℝn als Linearkombination der kanonischen Einheitsvektoren wird häufig verwendet. Die Skalare der Einheitsvektoren sind die Komponenten des Vektors.
Anschauliche Interpretation
In den Dimensionen n = 2 und n = 3 bewirkt eine Skalierung mit λ > 1 eine Streckung und eine Skalierung mit 0 < λ < 1 eine Stauchung des Vektors v. Bei einem negativen Skalar erfolgt zusätzlich eine Spiegelung am Nullpunkt.
Aus der Definition der Skalarmultiplikation folgt leicht:
Satz (Eigenschaften der Skalarmultiplikation)
Für alle λ, μ ∈ ℝ und alle v, w ∈ ℝn gilt:
(a) | 1 v = v |
(b) | λ (μ v) = (λ μ) v |
(c) | λ (v + w) = λ v + λ w |
(d) | (λ + μ) v = λ v + μ v |