Lösungen zu den Übungen
Übung 1
Berechnen Sie:
(a) | die Vektoraddition (1, 2, 3) + (4, 5, 6) im ℝ3 |
(b) | das additiv Inverse von (1, −1, 1, −1) im ℝ4 |
(c) | die Skalarmultiplikation (1 + i) (1 + i, 1 − 2i, i, 0, 1) im ℂ5 |
Lösung zur Übung 1
zu (a):
Es gilt
(1, 2, 3) + (4, 5, 6) = (1 + 4, 2 + 5, 3 + 6) = (5, 7, 9).
zu (b):
Das additiv Inverse von (1, −1, 1, −1) ist −(1, −1, 1, −1). Es gilt
−(1, −1, 1, −1) = (−1, − (−1), −1, − (−1)) = (−1, 1, −1, 1).
zu (c):
Es gilt
(1 + i) (1 + i, 1 − 2i, i, 0, 1)
= ((1 + i)2, (1 + i) (1 − 2i), (1 + i) i, (1 + i) 0, (1 + i) 1)
= (1 + 2i + i2, 1 − 2i + i − 2i2, i + i2, 0, 1 + i)
= (1 + 2i − 1, 1 − i + 2, i − 1, 0, 1 + i)
= (2i, 3 − i, −1 + i, 0, 1 + i).
Übung 2
Sei n ≥ 1. Zeigen Sie, dass für alle v, w, u ∈ ℝn gilt:
(a) | v + (w + u) = (v + w) + u(Assoziativität) |
(b) | v + 0 = 0 + v = v(Neutralität des Nullvektors) |
(c) | v + (− v) = (− v) + v = 0(additive Inverse) |
(d) | v + w = w + v(Kommutativität) |
Lösung zur Übung 2
Seien v, w, u ∈ ℝn beliebig.
zu (a): Es gilt
| v + (w + u) | = (v1, …, vn) + ((w1, …, wn) + (u1, …, un)) |
| = (v1, …, vn) + (w1 + u1, …, wn + un) | |
| = (v1 + w1 + u1, …, vn + wn + un) | |
| = (v1 + w1, …, vn + wn) + (u1, …, un) | |
| = (v + w) + u. |
zu (b): Es gilt
| v + 0 | = (v1, …, vn) + (0, …, 0) |
| = (v1 + 0, …, vn + 0) = (v1, …, vn) = v. |
Analog gilt 0 + v = v.
zu (c): Es gilt
| v + (−v) | = (v1, …, vn) + (−v1, …, −vn) |
| = (v1 − v1, …, vn − vn) = (0, …, 0) = 0. |
| (−v) + v | = (− v1, …, − vn) + (v1, …, vn) |
| = (− v1 + v1, …, − vn + vn) = (0, …, 0) = 0. |
zu (d): Es gilt
| v + w | = (v1, …, vn) + (w1, …, wn) |
| = (v1 + w1, …, vn + wn) | |
| = (w1 + v1, …, wn + vn) | |
| = w + v. |
Übung 3
Wir betrachten die Dimension n = 2 (Euklidische Ebene). Illustrieren Sie für diese Dimension
(a) | die Vektoraddition |
(b) | die Vektorsubtraktion |
(c) | die Skalarmultiplikation |
durch je eine beschriftete Skizze.
Lösung zur Übung 3
Die Summe v + w zweier Vektoren v und w. Der Vektor v + w bildet eine Diagonale des von v und w aufgespannten Parallelogramms.
Die Differenz v − w zweier Vektoren v und w. Es gilt v − w = v + (−w).
Der Differenzvektor zeigt von der Spitze von w zur Spitze von v. Er bildet wie v + w eine Diagonale des von v und w aufgespannten Parallelogramms.
Zwei Skalierungen eines Vektors v. Es gilt λ > 1 und −1 < μ < 0.
Übung 4
Erläutern Sie die Eigenschaften
(a) | 1 v = v |
(b) | λ (μ v) = (λ μ) v |
(c) | λ (v + w) = λ v + λ w |
(d) | (λ + μ) v = λ v + μ v |
des Skalarprodukts für den Vektorraum ℝ3 durch je ein instruktives konkretes Beispiel.
Lösung zur Übung 4
zu (a):
Sei v = (1, −2, 4). Dann gilt
1 v = 1 (1, −2, 4) = (1 · 1, 1 · (−2), 1 · 4) = (1, −2, 4) = v.
zu (b):
Seien v = (1, 0, − 2), λ = 2, μ = −1. Dann gilt
λ (μ v) = 2 ((−1) v) = 2 ((−1) (1, 0, −2)) = 2 (−1, 0, 2) = (−2, 0, 4),
(λμ) v) = (2 · (−1)) v) = (−2) v = (−2) (1, 0, −2) = (−2, 0, 4).
Beide Vektoren stimmen überein.
zu (c):
Seien λ = 2, v = (1, 0, 2), w = (1, −1, 0). Dann gilt
λ (v + w) = 2 ((1, 0, 2) + (1, −1, 0)) = 2 (2, −1, 2) = (4, −2, 4),
λ v + λ w = 2 (1, 0, 2) + 2 (1, −1, 0) = (2, 0, 4) + (2, −2, 0) = (4, −2, 4).
Beide Vektoren stimmen überein.
zu (d):
Seien λ = 2, μ = −3, v = (1, 0, −3). Dann gilt
(λ + μ) v = (2 + (−3)) (1, 0, −3) = (−1) (1, 0, −3) = (−1, 0, 3),
| λ v + μ v | = 2 (1, 0, −3) + (−3) (1, 0, −3) |
| = (2, 0, −6) + (−3, 0, 9) = (−1, 0, 3). |
Beide Vektoren stimmen überein.