Das Euklidische Skalarprodukt
Definition (Euklidisches Skalarprodukt)
Wir setzen für alle v, w ∈ ℝn:
〈 v, w 〉 = v1 w1 + … + vn wn.
Die reelle Zahl 〈 v, w 〉 heißt das Euklidische Skalarprodukt oder auch das kanonische Skalarprodukt der Vektoren v und w.
Neben 〈 v, w 〉 werden auch die Notationen v • w oder v ∘ w sowie die Dirac-Notation 〈 v | w 〉 verwendet. Wir verwenden bevorzugt 〈 v, w 〉.
Wichtig
Das Skalarprodukt ordnet zwei Vektoren eine reelle Zahl (einen Skalar) zu. Das Ergebnis der Operation ist immer ein Skalar.
Beispiele
〈 (1, −1, 0), (3, 2, 1) 〉 = 1 · 3 + (−1) · 2 + 0 · 1 = 3 − 2 + 0 = 1
〈 (1, −1, 0, 1), (0, 0, 0, 0) 〉 = 1 · 0 + (−1) · 0 + 0 · 0 + 1 · 0 = 0
Satz (Skalarprodukt und Norm)
Für alle v ∈ ℝn gilt:
∥v∥2 = 〈 v, v 〉.
Beweis
Sei v ∈ ℝn. Dann gilt ∥v∥ 2 = v12 + … + vn2 = 〈 v, v 〉.
Nützliche und einfach zu zeigende Rechenregeln sind:
Satz (Eigenschaften des Euklidischen Skalarprodukts)
Für alle λ ∈ ℝ und alle v, w, v′, w′ ∈ ℝn gilt:
(i) | 〈 v + λv′, w 〉 = 〈 v, w 〉 + λ 〈 v′, w 〉 〈 v, w + λw′ 〉 = 〈 v, w 〉 + λ 〈 v, w′ 〉 (Bilinearität) |
(ii) | 〈 v, w 〉 = 〈 w, v 〉(Symmetrie) |
(iii) | 〈 v, v 〉 > 0 für alle v ≠ 0(positive Definitheit) |
Diese Regeln zeigen, dass das Skalarprodukt in der Tat die Eigenschaften eines Produkts besitzt. In der Malpunkt-Notation lautet die erste Eigenschaft
(v + λv′) • w = v • w + λ(v′ • w), v • (w + λw′) = v • w + λ(v • w′)