Die Translation einer Menge

Um auch Geraden zu erhalten, die nicht durch den Nullpunkt verlaufen, führen wir eine Operation zur Verschiebung ein. Wir definieren allgemein für beliebige Mengen:

Definition (Translation)

Seien w  ∈  ℝⁿ und U ⊆ ℝⁿ. Dann heißt

w + U = { w + u | u  ∈  U }

die Translation oder Verschiebung der Menge U um den Vektor w.

Beispiel

(1)	Im ℝ³ seien w = (1, −1, 0) und U = { (1, 2, 3), (1, 0, −1) }. Dann gilt w + U = { w + (1, 2, 3), w + (1, 0, −1) } = { (2, 1, 3), (2, −1, −1) }.

(2)	In der Ebene ℝ² sei K = { v \| ∥v∥ = 3 } der Kreis mit Mittelpunkt 0 und Radius 3. Dann ist (1, 2) + K der Kreis der Ebene mit Radius 3 und Mittelpunkt (1, 2).

(3)	Ist U = ∅, so ist w + U = ∅. Ist U = { 0 }, so ist w + U = { w }. Ist U = { u }, so ist w + U = { w + u }. Ist U = { u₁, u₂ }, so ist w + U = { w + u₁, w + u₂ }.