Der Abstand eines Punktes von einer Geraden

Den Abstand zweier Punkte v, u  ∈  ℝⁿ haben wir durch d(v, u) = ∥ v − u ∥ definiert. Durch eine „Suche nach dem kürzesten Weg“ können wir den Abstand eines Punktes von einer Menge einführen:

Definition (Abstand zwischen Punkt und Menge)

Seien v  ∈  ℝⁿ und U ⊆ ℝⁿ nichtleer. Dann heißt

d(v, U) = inf_{u  ∈  U} d(v, u)

der Abstand des Punktes v von der Menge U.

Beispiele

(1)	Ist U = { u }, so ist d(v, U) = d(v, u). Ist U = { u₁, u₂ }, so ist d(v, U) = inf ({ d(v, u₁), d(v, u₂ }) = min({ d(v, u₁), d(v, u₂) }).

(2)	Ist v = (0, 1) und U = { (λ, 0) \| λ > 0 } der positive Teil der x-Achse, so ist d(v, U) = 1. Das Infimum der Definition ist hier kein Minimum.

Mit Hilfe der Projektion können wir eine Formel für den Abstand eines Punktes v von einer Geraden G = w + span(u) angeben:

Satz (Berechnungsformel für den Abstand)

Seien v  ∈  ℝⁿ und G = w + span(u) eine affine Gerade im ℝⁿ. Dann gilt

d(v, G) = $\sqrt{∥ v - w ∥^{2} - 〈 û, v - w 〉^{2}}$ .

Beweis

Der Abstand bleibt gleich, wenn wir den Vektor v und die Gerade G jeweils um −w verschieben. Die Verschiebung von G um −w ist die Gerade span(u). Es gilt also

d(v, G) = d(v − w, span(u)).

Sei v* = v − w. Der Wert auf der rechten Seite ist die Länge der kürzesten Strecke von v* zur Geraden span(u), also die Länge des Vektors v* − pr_u(v*). Nach dem Satz des Pythagoras gilt

∥ v* − pr_u(v*) ∥² = ∥ v* ∥² − ∥ pr_u(v*) ∥² = ∥ v* ∥² − 〈 û, v* 〉² ≥ 0.

Durch Wurzelziehen ergibt sich die Formel des Satzes.