Geraden als algebraische Kurven ersten Grades

Eine Menge A ⊆ ℝ² heißt eine algebraische Kurve ersten Grades, falls es a, b, c  ∈  ℝ gibt mit (a, b) ≠ 0 und

A = { (x, y)  ∈  ℝ² | ax + by + c = 0 }.

Wir zeigen, dass die affinen Geraden genau die algebraischen Kurven ersten Grades sind. Ist H = span(u) eine Gerade durch 0 und ist

u_⊥ = (−u₂, u₁) [ gelesen: u senkrecht ]

der um π/2 gegen den Uhrzeigersinn gedrehte Vektor u, so besteht die Gerade H aus allen Vektoren, die auf u_⊥ senkrecht stehen. Es gilt also

H	= { v  ∈  ℝ² \| 〈 u_⊥, v 〉 = 0 }
	= { (x, y)  ∈  ℝ² \| −u₂x + u₁y = 0 }(Orthogonaldarstellung von H)

Sei nun G = w + H, und sei v  ∈  ℝ². Dann gilt v  ∈  G genau dann, wenn v − w  ∈  H, d. h. wenn 〈 u_⊥, v − w 〉 = 0. Wir setzen

c = − 〈 u_⊥, w 〉.

Dann gilt

G	= { v  ∈  ℝ² \| 〈 u_⊥, v − w 〉 = 0 } = { v  ∈  ℝ² \| 〈 u_⊥, v 〉 − 〈 u_⊥, w 〉 = 0 }
	= { v  ∈  ℝ² \| 〈 u_⊥, v 〉 + c = 0 } = { (x, y)  ∈  ℝ² \| −u₂x + u₁y + c = 0 }.

Wir erhalten folgenden Satz, der es erlaubt, eine affine Gerade effektiv in eine algebraische Kurve umzurechnen und umgekehrt:

Die affinen Geraden der Ebene sind genau die algebraischen Kurven ersten Grades. Die Geraden durch 0 entsprechen dem Parameter c = 0. Genauer gilt:

(1)	Ist G = w + span(u) eine affine Gerade und (a, b) = u_⊥ = (−u₂, u₁), so gilt G = { (x, y)  ∈  ℝ² \| ax + by − 〈 (a, b), w 〉 = 0 }.

(2)	Ist A = { (x, y)  ∈  ℝ² \| ax + by + c = 0 } eine algebraische Kurve ersten Grades und w  ∈  A beliebig, so gilt A = w + span((b, −a)). Ist a ≠ 0, so ist w = (−c/a, 0)  ∈  A. Ist b ≠ 0, so ist w = (0, −c/b)  ∈  A.

Die Aussage (1) ist schon gezeigt. Ist w + span((b, −a)) wie in (2), so ergibt die Umrechnung wie in (1) die algebraische Gleichung ax + by + c = 0.