Der Spann zweier Vektoren
Definition (Spann zweier Vektoren)
Seien u, w ∈ ℝn. Dann heißt die Menge
span(u, w) = { λ u + μ w | λ, μ ∈ ℝ } ⊆ ℝn
der Spann oder das Erzeugnis von u und w.
Im Gegensatz zum Spann eines Vektors sind nun zwei Vektoren und damit zwei Skalare beteiligt. Dadurch sind zweidimensionale Erzeugnisse möglich.
Beispiele
(1) | In der Ebene ℝ2 gilt mit e1 = (1, 0), e2 = (0, 1): span(e1, e2) = { λ e1 + μ e2 | λ, μ ∈ ℝ } = { (λ, μ) | λ, μ ∈ ℝ } = ℝ2. |
(2) | Im dreidimensionalen Raum ℝ3 gilt mit e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0): span(e1, e2) = { λ e1 + μ e2 | λ, μ ∈ ℝ } = { (λ, μ, 0) | λ, μ ∈ ℝ }, sodass der Spann der Vektoren e1 und e2 die x-y-Ebene ist. Analog ist span(e1, e3) die x-z-Ebene und span(e2, e3) die y-z-Ebene. |
Wir sammeln einige leicht nachzuweisende Eigenschaften:
Satz (Eigenschaften des Spanns zweier Vektoren)
Seien u, w ∈ ℝn. Dann gilt:
(1) | 0 ∈ span(u, w). |
(2) | span(u, w) = span(w, u). |
(3) | span(u) ∪ span(w) ⊆ span(u, w). |
(4) | Sind u, w kollinear und u, w ≠ 0, so gilt span(u, w) = span(u) = span(w). |
(5) | Ist w = 0, so gilt span(u, w) = span(u). |
(6) | Ist u = w = 0, so gilt span(u, w) = { 0 }. |
Beweis
Wir zeigen exemplarisch (4). Seien also u, w kollinear mit u, w ≠ 0. Dann gibt es ein α ∈ ℝ mit w = αu. Für alle λ, μ ∈ ℝ gilt
λu + μw = λu + μα u = (λ + μα)u ∈ span(u).
Damit ist span(u, w) ⊆ span(u) und nach (3) also span(u, w) = span(u). Der Beweis von span(u, w) = span(w) wird analog geführt.