Affine Ebenen
Definition (affine Ebene)
Eine Menge E ⊆ ℝn heißt eine affine Ebene, falls sie von der Form
E = w + span(u1, u2), u1, u2 nicht kollinear
ist. Wir nennen w einen Aufsatzpunkt und u1, u2 Richtungsvektoren von E.
Eine affine Ebene entsteht aus dem Spann zweier nicht kollinearer Vektoren durch eine Translation. Es gilt
E = w + span(u1, u2) = { w + λu1 + μu2 | λ, μ ∈ ℝ }.
Wie für die Geraden sind Aufsatzpunkt und Richtungsvektoren einer affinen Ebene nicht eindeutig bestimmt.
Satz (affine Ebene durch drei Punkte)
Sei n ≥ 1, und seien w1, w2, w3 ∈ ℝn drei Punkte, die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Dann gibt es genau eine affine Ebene E durch w1, w2, w3. Diese Ebene ist gegeben durch
E = w1 + span(w2 − w1, w3 − w1).
Beweis
Seien u1 = w2 − w1, u2 = w3 − w1. Nach Voraussetzung sind u1, u2 nicht kollinear, sodass
E = w1 + span(w2 − w1, w3 − w1) = w1 + span(u1, u2)
eine affine Ebene ist. Es gilt
E = { w1 + λ(w2 − w1) + μ(w3 − w1) | λ, μ ∈ ℝ }.
Die Wahl von λ = μ = 0 zeigt, dass w1 ∈ E. Setzen wir λ = 1 und μ = 0, so erhalten wir w2 ∈ E. Mit λ = 0 und μ = 1 ist schließlich auch w3 ∈ E. Damit ist E eine affine Ebene durch w1, w2, w3.
Die Eindeutigkeit kann in Analogie zum Beweis des Satzes gezeigt werden, dass es durch zwei verschiedene Punkte des ℝn höchstens eine Gerade gibt (vgl. die Übungen im letzten Kapitel).
Beispiel
Im ℝ4 seien w1 = (1, 0, 1, 0), w2 = (1, 1, 1, 1), w3 = (1, −1, 2, 1). Dann ist
E = w1 + span((0, 1, 0, 1), (0, −1, 1, 1))
die eindeutige Ebene des ℝ4 durch w1, w2, w3.
Die von u1 = (1, 1, 0) und u2 = (0, 1, 1) aufgespannte Ebene span(u1, u2)
Die affine Ebene w + span(u1, u2) mit w = (−3, 1, 0) und u1, u2 wie oben