Eigenschaften des Kreuzprodukts

Satz (Eigenschaften des Kreuzprodukts)

Für alle v, w, u  ∈  ℝ3 und λ  ∈  ℝ gilt:

(a)

〈 v × w, v 〉  =  〈 v × w, w 〉  =  0(Orthogonalität)

(b)

v × w  =  − (w × v)(Antikommutativität)

(c)

(λv) × w  =  λ (v × w),  (v + u) × w  =  v × w  +  u × w

v × (λw)  =  λ (v × w),  v × (w + u)  =  v × w  +  v × u(Bilinearität)

(d)

v × v  =  0(Alternation)

(e)

v × (w × u)  =  〈 v, u 〉 w  −  〈 v, w 〉 u(Grassmann-Identität)

(f)

v × (w × u)  +  u × (v × w)  +  w × (u × v)  =  0(Jacobi-Identität)

(g)

∥ v × w ∥2  =  ∥v∥2 ∥w∥2  −  〈 v, w 〉2(Lagrange-Identität)

 Die Eigenschaften ergeben sich durch Nachrechnen, wobei die letzten drei etwas schwieriger sind. Nach (a) ist v × w eine Lösung des Gleichungssystems (I), (II). Aus der Lagrange-Identität folgt, dass v × w = 0 genau dann gilt, wenn v und w kollinear sind. Denn genau für kollineare v, w gilt 〈 v, w 〉2 = ∥v∥2 ∥w∥2 (Winkelformel, Gleichheit in Cauchy-Schwarz). Damit erhalten wir:

Korollar (orthogonale Gerade einer Ebene durch 0)

Sei E = span(v, w) eine Ebene im ℝ3 durch den Nullpunkt. Dann gilt:

span(v × w)  =  { u  ∈  ℝ2 | u steht senkrecht auf allen Vektoren von E }.

 Das Kreuzprodukt ist nicht kommutativ. Vertauschen wir die Reihenfolge, so ändert sich das Vorzeichen. Auch die Assoziativität ist verletzt:

Beispiel

Seien v = (1, 1, 2), w = (2, 1, 1) und u = (1, 0, 2). Dann gilt:

v × (w × u)  =  (1, 1, 2) × (2, −3, −1)  =  (5, 5, −5)

(v × w) × u  =  (−1, 3, −1) × (1, 0, 2)  =  (6, 1, −3)

Das Kreuzprodukt ist also, im Gegensatz zu vielen anderen Operationen der Mathematik, nicht assoziativ.

 Aufgrund der Bilinearität ist distributives Ausmultiplizieren möglich:

v × w  =  (v1e1 + v2e2 + v3e3) × (w1e1 + w2e2 + w3e3)  =  ∑1 ≤ i,j ≤ 3 viwj (ei × ej).

Damit ist das Kreuzprodukt durch die Werte ei × ej eindeutig festgelegt.