Die Hesse-Normalform einer affinen Ebene
In Analogie zu den affinen Geraden nennen wir die Darstellung
E = { (x, y, z) ∈ ℝ3 | a x + b y + c z + d = 0 }.
einer affinen Ebene des ℝ3 die Hesse-Normalform von E, falls ∥ (a, b, c) ∥ = 1 und d ≤ 0. Für ein beliebiges v = (v1, v2, v3) ∈ ℝ3 können wir mit der Hesse-Normalform wieder die orthogonale Projektion prE(v) ∈ ℝ3 von v auf E und den signierten Abstand des Punktes v zur Ebene E berechnen. Der Vektor prE(v) ist bestimmt durch die zwei Eigenschaften:
(i) | v − prE(v) und (a, b, c) sind kollinear |
(ii) | prE(v) ∈ E |
Wir suchen diesmal also x, y, z, λ ∈ ℝ mit:
(a) | v − (x, y, z) = λ (a, b, c) |
(b) | a x + b y + c y = − d |
Dann ist prE(v) = (x, y, z) die gesuchte Projektion und weiter ist |λ | = d(v, E). Das Vorzeichen von λ gibt an, ob v im von (a, b, c) bzw. − (a, b, c) angezeigten Halbraum bzgl. E liegt. Als Gleichungssystem in den vier reellen Unbestimmten x, y, z, λ notiert lesen sich (a) und (b) wie folgt:
| (I) | x | + λ a | = v1 |
| (II) | y | + λ b | = v2 |
| (III) | z | + λ c | = v3 |
| (IV) | a x + b y + c y | = − d |
Durch Subtraktion des a, b, bzw. c-fachen der Gleichungen (I), (II) bzw. (III) wird die vierte Gleichung zu
(IV)′ − λ a2 − λ b2 − λ c2 = − a v1 − b v2 − c v3 − d
Dies ist wegen a2 + b2 + c2 = 1 äquivalent zu
(IV)″ λ = 〈 (a, b, c), v 〉 + d
Die eindeutige Lösung (x, y, z, λ) des Systems ist also gegeben durch:
| (+) | λ = 〈 (a, b, c), v 〉 + d = a v1 + b v2 + cv3 + d |
| prE(v) = (x, y, z) = v − λ (a, b, c)(Hesse-Formeln) |
Speziell ist wieder d der signierte Abstand des Nullpunkts zu E und prE(0) = − d (a, b, c) die Projektion von 0 auf E.