Koordinatenvektoren

Die kanonische Basis e₁, …, e_n des ℝⁿ erzeugt ein Koordinatengitter, mit dem wir jeden Vektor messen können. Allgemeiner gilt dies für jede Basis:

Definition (Koordinatenvektor)

Sei (v₁, …, v_n) eine Basis des ℝⁿ. Weiter seien u  ∈  ℝⁿ und λ₁, …, λ_n  ∈  ℝ mit

u = λ₁ v₁ + … + λ_n v_n.

Dann heißt der Vektor (λ₁, …, λ_n)  ∈  ℝⁿ der Koordinatenvektor von u bzgl. der Basis (v₁, …, v_n) des ℝⁿ.

Ein Koordinatenvektor ist eindeutig bestimmt. Denn ist

u = λ₁ v₁ + … + λ_n v_n und u = μ₁ v₁ + … + μ_n v_n, so gilt

0 = u − u = (λ₁ − μ₁) v₁ + … + (λ_n − μ_n) v_n.

Da v₁, …, v_n linear unabhängig sind, ist diese Nulldarstellung trivial, d. h. es gilt λ_i = μ_i für alle i = 1, …, n. Dieses Argument ist ein Paradebeispiel für die Eleganz der Formulierung der linearen Unabhängigkeit über die Nulldarstellung.

Beispiel

(1)	Der Koordinatenvektor von v  ∈  ℝ³ bzgl. (e₁, e₂, e₃) ist v selbst. Denn es gilt v = (v₁, v₂, v₃) = v₁ e₁ + v₂ e₂ + v₃ e₃.

(2)	Es gilt (1, −2) = 3(1, 0) − 2(1, 1). Damit ist (3, −2) der Koordinatenvektor von (1, −2) bzgl. der durch (1, 0), (1, 1) gebildeten Basis.

Berechnung eines Koordinatenvektors

Sind ein Vektor u und eine Basis (v₁, …, v_n) des ℝⁿ gegeben, so finden wir den Koordinatenvektor von u bzgl. dieser Basis durch das Lösen eines linearen Gleichungssystems mit n Gleichungen und n Unbestimmten λ₁, …, λ_n:

λ₁ v₁₁ + λ₂ v₂₁ + … + λ_n v_n1 = u₁

λ₁ v₁₂ + λ₂ v₂₂ + … + λ_n v_n2 = u₂

…

λ₁ v_1n + λ₂ v_2n + … + λ_n v_nn = u_n

Dabei gilt

v₁ = (v₁₁, …, v_1n), …, v_n = (v_n1, …, v_nn) und u = (u₁, …, u_n).

Derartige Systeme lassen sich mit Hilfe von Matrizen effizient lösen. Wir besprechen ein Lösungsverfahren im folgenden Kapitel.

Visualisierung in der Ebene

Allgemeine Koordinatensysteme lassen sich in der Ebene sehr anschaulich darstellen. Wir betrachten hierzu die von den Vektoren

v₁ = (2, 1), v₂ = (1, −1)

gebildete Basis des ℝ². Weiter betrachten wir den Vektor

w = (4, 5).

Die Basisvektoren v₁ und v₂ erzeugen ein schiefwinkliges Koordinatensystem

Anhand der Gitterlinien des Diagramms können wir ablesen, dass wir den Vektor w wie folgt darstellen können:

(1)	Wir gehen drei Einheiten auf der v₁-Achse.

(2)	Von dort aus gehen wir zwei Einheiten antiparallel zur v₂-Achse.

Wir erhalten so den Vektor

3v₁ − 2v₂ = 3(2, 1) − 2(1, −1) = (6, 3) − (2, −2) = (4, 5) = w

Dies zeigt, dass der Vektor (3, −2) der Koordinatenvektor von w bzgl. der Basis (v₁, v₂) ist. Alternativ lässt sich dies durch Lösung des Gleichungssystems w = λ₁ v₁ + λ₂ v₂ erhalten (vgl. hierzu die Übungen).