Spezielle Matrizen

Nullmatrix

Die Nullmatrix des ℝ^{m × n} ist die eindeutige Matrix A  ∈  ℝ^{m × n} mit a_ij = 0 für alle i, j. Wir bezeichnen sie mit 0. Es gilt also

0  =  $( \begin{array}{ccc}0& \text{…}& 0\\ \text{…}& \text{…}& \text{…}\\ 0& \text{…}& 0\end{array} )$  ∈  ℝ^{m × n}

Jeder Zeilenvektor ist der Nullvektor des ℝⁿ, jeder Spaltenvektor der Nullvektor des ℝ^m. Es gilt also

0  =  (0, …, 0)  =  (0; …; 0)  ∈  ℝ^{m × n}

Diagonalmatrizen

Ist A  ∈  ℝ^{m × n}, so heißen die Einträge a₁₁, …, a_kk mit k = min(n, m) die Diagonaleinträge von A. Der Vektor (a₁₁, …, a_kk)  ∈  ℝ^k heißt die (Haupt-) Diagonale von A. Eine Matrix A heißt eine Diagonalmatrix, wenn alle Einträge außerhalb der Diagonale gleich 0 sind. Ist m ≤ n, so hat eine solche Matrix die Form

A  =  $( \begin{array}{cccccccc}{\mathrm{a}}_{11}& 0& \text{…}& \text{…}& \text{…}& \text{…}& \text{…}& 0\\ 0& {\mathrm{a}}_{22}& 0& \text{…}& \text{…}& \text{…}& \text{…}& 0\\ \text{…}& & \text{…}& & & & & \text{…}\\ 0& \text{…}& 0& {\mathrm{a}}_{\mathrm{m}-\mathrm{1,}\mathrm{m}-1}& 0& \text{…}& \text{…}& 0\\ 0& \text{…}& \text{…}& 0& {\mathrm{a}}_{\text{mm}}& 0& \text{…}& 0\end{array} )$

mit n − m rechten Nullspalten. Analoges gilt mit m − n Nullzeilen im Fall n ≤ m. Ist n = m, so hat eine Diagonalmatrix A genau dann Nullzeilen und Nullspalten, wenn ein Diagonaleintrag a_ii gleich 0 ist.

Die Nullmatrix des ℝ^{m × n} ist eine Diagonalmatrix.

Obere und untere Dreiecksmatrizen

Eine Matrix A heißt eine obere Dreiecksmatrix, falls a_ij = 0 für alle i > j gilt, d. h. alle Einträge unterhalb der Hauptdiagonalen von A sind Null. Analog heißt A eine untere Dreiecksmatrix, falls a_ij = 0 für alle j > i gilt. In diesem Fall sind alle Einträge oberhalb der Hauptdiagonalen gleich Null.

Jede Diagonalmatrix ist sowohl eine untere als auch eine obere Dreiecksmatrix.

Quadratische Matrizen

Eine Matrix A heißt quadratisch, wenn sie genauso viele Zeilen wie Spalten besitzt, d. h. es gibt ein n mit A  ∈  ℝ^{n × n}. Wir setzen

spur(A)  =  a₁₁ + … + a_nn(Spur von A)

Die Spur ist also die Summe der Einträge auf der Hauptdiagonalen.

Für alle d₁, …, d_n  ∈  ℝ bezeichnen wir mit Diag(d₁, …, d_n) die Diagonalmatrix des ℝ^{n × n} mit der Hauptdiagonalen (d₁, …, d_n):

Diag(d₁, …, d_n)  =  $( \begin{array}{ccccc}{\mathrm{d}}_1& 0& \text{…}& \text{…}& 0\\ 0& {\mathrm{d}}_2& 0& \text{…}& 0\\ & & \text{…}\\ 0& \text{…}& 0& {\mathrm{d}}_{\mathrm{n}-1}& 0\\ 0& \text{…}& \text{…}& 0& {\mathrm{d}}_{\mathrm{n}}\end{array} )$  ∈  ℝ^{n × n}

Diese Notation lässt sich allgemeiner für nichtquadratische Diagonalmatrizen verwenden, wenn die Dimensionen gegeben sind.

Einheitsmatrizen

Die Einheitsmatrix E_n des ℝ^{n × n} ist definiert durch

E_n  =  Diag(1, …, 1)  =  $( \begin{array}{ccc}1& & \\ & \text{…}& \\ & & 1\end{array} )$  ∈  ℝ^{n × n},

wobei nichtgezeigte Einträge gleich 0 sind. Einheitsmatrizen sind immer quadratisch.

Symmetrische Matrizen

Eine quadratische Matrix A  ∈  ℝ^{n × n} heißt symmetrisch, falls a_ij = a_ji für alle i, j gilt. Eine symmetrische Matrix hat die Form

A  =  $( \begin{array}{cccc}{\mathrm{a}}_{11}& {\mathrm{a}}_{12}& \text{…}& {\mathrm{a}}_{1\mathrm{n}}\\ {\mathrm{a}}_{12}& {\mathrm{a}}_{22}& \text{…}& {\mathrm{a}}_{2\mathrm{n}}\\ \text{…}& \text{…}& \text{…}& \text{…}\\ {\mathrm{a}}_{1\mathrm{n}}& {\mathrm{a}}_{2\mathrm{n}}& \text{…}& {\mathrm{a}}_{\mathrm{n}\mathrm{n}}\end{array} )$

Anschaulich formuliert: Die Matrix A bleibt gleich, wenn sie an ihrer Hauptdiagonalen gespiegelt wird. Bei einer symmetrischen Matrix entsprechen die Zeilenvektoren den Spaltenvektoren: Es gilt

A  =  (v₁, …, v_n)  =  (v₁; …; v_n).