Beispiel 3: Spiegelungs-Matrizen

Sei wieder u  ∈  ℝ² normiert. Wir betrachten die Spiegelung mir_u : ℝ² → ℝ² an der von der von u erzeugten Geraden span(u). Sie wird definiert durch

(+) mir_u = 2 pr_u(v) − v = 2 〈 u, v 〉 u − v für alle v  ∈  ℝ²

Wir können die Formel (+) so begründen: Ausgehend von v bilden wir den Lotvektor lot_u(v) = pr_u(v) − v. Fügen wir das Doppelte dieses Lotvektors an v an, so gelangen wir zum an span(u) gespiegelten Vektor mir_u(v). Es gilt also

mir_u(v) = v + 2 lot_u(v) = v + 2 (pr_u(v) − v) = 2 pr_u(v) − v

Äquivalent können wir das von v und mir_u(v) aufgespannte gleichseitige Parallelogramm mit den Ecken 0, v, v + mir_u(v), mir_u(v) betrachten. Der Schnittpunkt S der beiden Diagonalen dieser Raute ist pr_u(v). Damit gilt

v + mir_u(v) = 2 S = 2 pr_u(v), d. h. mir_u(v) = 2 pr_u(v) − v

Mit Hilfe von (+) und der Projektions-Matrix pr_u können wir die darstellende Matrix der Spiegelung leicht berechnen. Zusammen mit 1 = ∥ u ∥² = u₁² + u₂² erhalten wir die symmetrische Matrix

2 pr_u − E₂ = $( \begin{matrix} 2 u_{1}^{2} - 1 & 2 u_{1} u_{2} \\ 2 u_{1} u_{2} & 2 u_{2}^{2} - 1 \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} u_{1}^{2} - u_{2}^{2} & 2 u_{1} u_{2} \\ 2 u_{1} u_{2} & u_{2}^{2} - u_{1}^{2} \end{matrix} )$

Definition (Projektions-Matrix in der Ebene)

Sei u  ∈  ℝ² normiert. Dann heißt die Matrix

A = $( \begin{matrix} u_{1}^{2} - u_{2}^{2} & 2 u_{1} u_{2} \\ 2 u_{1} u_{2} & u_{2}^{2} - u_{1}^{2} \end{matrix} )$  ∈  ℝ^2 × 2

die Spiegelungs-Matrix für den Vektor u. Wir bezeichnen sie auch mit mir_u.

Trigonometrische Darstellung einer Spiegelung

Schreiben wir u in der Form u = (cos φ, sin φ), so erhalten wir mit den Verdopplungsformeln cos(2φ) = cos² φ − sin² φ, sin(2φ) = 2 cos(φ) sin(φ):

mir_u = $( \begin{matrix} {cos}^{2} φ - {sin}^{2} φ & 2 cos φ sin φ \\ 2 cos φ sin φ & {sin}^{2} φ - {cos}^{2} φ \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} cos (2 φ) & sin (2 φ) \\ sin (2 φ) & - cos (2 φ) \end{matrix} )$

Im Vergleich zu rot_2φ ist die zweite Spalte mit −1 multipliziert. Die Matrix bewirkt eine Spiegelung an der Geraden mit dem Winkel φ (und nicht 2φ) zur x-Achse. Wir schreiben auch mir_2φ statt mir_u. Damit gilt (analog zu rot_φ):

mir_φ = ((cos(φ), sin(φ)), (sin(φ), −cos(φ))

Beispiel

Wir betrachten den Vektor u = (3, 2). Mit ∥ u ∥² = 9 + 4 = 13 berechnet sich die Matrix der Spiegelung an der Geraden span(u) zu

mir_û = ¹_{∥ u ∥²} $( \begin{matrix} u_{1}^{2} - u_{2}^{2} & 2 u_{1} u_{2} \\ 2 u_{1} u_{2} & u_{2}^{2} - u_{1}^{2} \end{matrix} )$ = ¹₁₃ $( \begin{matrix} 5 & 12 \\ 12 & - 5 \end{matrix} )$

Damit gilt zum Beispiel

mir_û(4, 1) = 1/13 (32, 43), mir_û(3, 2) = 1/13 (39, 26) = (3, 2)

Der Vektor u schließt mit der positiven x-Achse den Winkel

φ = arg(u) = arctan(2/3)

ein. Damit gilt

mir_û = mir_2φ	= $( \begin{matrix} cos (2 φ) & sin (2 φ) \\ sin (2 φ) & - cos (2 φ) \end{matrix} )$
	= $( \begin{matrix} cos (2 arctan (2 / 3)) & sin (2 arctan (2 / 3)) \\ sin (2 arctan (2 / 3)) & - cos (2 arctan (2 / 3)) \end{matrix} )$

Damit gilt insbesondere cos(2 arctan(2/3)) = 13/5. Dies lässt sich mit den Formeln

cos²(arctan α) = 1/(1 + α²), sin²(arctan α) = α²/(1 + α²)

überprüfen:

cos(2 arctan(2/3))	= cos²(arctan(2/3)) − sin²(arctan(2/3))
	= ¹_1 + 4/9 − ^4/9_1 + 4/9 = ⁵₁₃

Die Spiegelung von v = (4, 1) an der Geraden span((3, 2)) ergibt w = 1/13 (32, 43)