Komplexe lineare Abbildungen
Alle Begriffe und Ergebnisse lassen sich wieder auf die komplexen Vektorräume übertragen. Eine Abbildung f : ℂn → ℂm ist linear, falls für alle v, w ∈ ℂn und alle λ, μ ∈ ℂ gilt:
f(λ v + μ w) = λ f (v) + μ f (w)(Linearitätsbedingung)
Die linearen Abbildungen entsprechen erneut den Matrizen. Ist f : ℂn → ℂm linear, so ist die spaltenweise gefüllte Matrix
A = (f (e1); …; f (en)) ∈ ℂn × m
die darstellende Matrix von f, d. h. es gilt f (v) = Av für alle v ∈ ℂn. Die Komposition von Abbildungen entspricht genau wie im Reellen der Multiplikation von Matrizen.
Beispiel
Sei f : ℂ2 → ℂ2 die lineare Abbildung mit
f((z, w)) = (iz, z + iw) für alle z, w ∈ ℂ.
Die Bilder der kanonischen Basisvektoren unter f berechnen sich zu
f (e1) = f((1, 0)) = (i, 1)
f (e2) = f((0, 1)) = (0, i).
Damit ist
A = (f (e1); f (e2)) = ∈ ℂ2 × 2
die darstellende Matrix von f.