Ein Basis-Test
Der Invertierungsalgorithmus lässt sich auch verwenden, um zu testen, ob Vektoren v1, …, vn des ℝn eine Basis des ℝn bilden oder nicht:
Basis-Test
Sei A = (v1, …, vn) (mit den Basisvektoren als Zeilen). Wir wenden den Invertierungs-Algorithmus auf A an. Erzeugen wir eine Nullzeile, so geben wir „nein" als Ergebnis aus. Können wir dagegen A in En überführen, so ist „ja“ das Ergebnis der Berechnung.
Die Korrektheit ergibt sich daraus, dass eine Matrix A ∈ ℝn × n genau dann invertierbar ist, wenn ihre Zeilen eine Basis bilden.
Im Basis-Test müssen wir die B-Matrizen nicht berechnen. Es ist dennoch nützlich, dies zu tun: Finden wir im singulären Fall eine Matrix Ak, deren i-te Zeile Null ist, so liefert die i-te Zeile (λ1, …, λn) von Bk die Koeffizienten einer nichttrivialen Nulldarstellung
λ1v1 + … + λnvn = 0
der Basisvektoren v1, …, vn (denn es gilt λ1v1 j + … + λnvn j = 0 für alle j = 1, …, n, da die i-te Zeile von Bk A eine Nullzeile ist).
Beispiel: Basis-Test und Berechnung einer Nulldarstellung
Für die Vektoren v1 = (1, 2, −1), v2 = (−1, 0, 1), v3 = (1, 4, −1) verläuft der Basis-Test wie folgt:
A0 = = B0
A1 = = B1
A2 = = B2
A3 = = B3
Die Matrix A3 besitzt eine Nullzeile und wir stoppen mit Ergebnis „nein“. Die entsprechende dritte Zeile von B3 liefert die Koeffizienten einer nichttrivialen Nulldarstellung der Vektoren v1, v2 und v3:
−2 v1 − 1 v2 + v3 = −2 (1, 2, −1) − (−1, 0, 1) + (1, 4, −1) = (0, 0, 0) = 0
Wir betrachten noch einen Spezialfall:
Beispiel: Durchführung des Algorithmus bei einer Nullspalte
Für v1 = (0, 1, 1), v2 = (0, 1, 0), v3 = (0, 2, 1) können wir so vorgehen:
A0 = = B0
A1 = = B1
A2 = = B2
A3 = = B3
Die Singularität von A = (v1, v2, v3) ist von Anfang an klar, aber wir führen die Berechnung fort, bis wir eine Nullzeile erreichen. Die dritte Zeile von B3 liefert erneut die Koeffizienten einer nichttrivialen Nulldarstellung der Vektoren v1, v2 und v3:
− v1 − v2 + v3 = (0, −1, −1) − (0, 1, 0) + (0, 2, 1) = (0, 0, 0) = 0