Übungen

Wenden Sie das Invertierungsverfahren auf die folgenden Matrizen an:

(a)	A = $( \begin{matrix} 1 & 1 & - 1 \\ - 2 & 1 & - 3 \\ 8 & - 1 & 7 \end{matrix} )$  ∈  ℝ^3 × 3

(b)	A = $( \begin{matrix} i & 1 \\ 1 + i & 1 \end{matrix} )$  ∈  ℂ^2 × 2

Sei A = ((a, b), (c, d))  ∈  ℝ^2 × 2. Zeigen Sie:

(1)	Ist ad − bc ≠ 0, so ist A invertierbar mit A⁻¹ = ¹_ad − bc $( \begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix} )$ (Invertierungsformel für 2 × 2-Matrizen)

(2)	Ist ad − bc = 0, so ist A singulär.

Die Formel ist auch für komplexe (2 × 2)-Matrizen gültig. Wenden Sie sie auf die komplexe (2 × 2)-Matrix in Übung 1 an.

Sei n ≥ 1. Weiter seien i, j  ∈  { 1, …, n } mit i ≠ j und λ  ∈  ℝ.

(a)	Geben Sie Matrizen B, C  ∈  ℝ^n × n an, sodass für alle A  ∈  ℝ^n × n gilt: B A = „Multiplikation der i-ten Zeile von A mit λ.“ C A = „Addition des λ-Fachen der Zeile i von A zur Zeile j von A“.

(b)	Geben Sie instruktive Beispiele für B und C an.

(c)	Was bewirkt die Multiplikation AB bzw. AC von rechts?

Geben Sie invertierbare Matrizen A, B  ∈  ℝ^2 × 2 an mit den Eigenschaften:

(a)	Alle Einträge von A, B, A⁻¹, B⁻¹ sind ganze Zahlen.

(b)	(AB)⁻¹ ≠ A⁻¹ B⁻¹.

Berechnen Sie zum Nachweis die Matrizen A⁻¹, B⁻¹, (AB)⁻¹, A⁻¹ B⁻¹.