Lösungen zu den Übungen

zu (1):

Es gelte ad − bc ≠ 0. Dann ist die Matrix auf der rechten Seite definiert (der Nenner des Bruchs ist von Null verschieden). Es gilt

¹_ad − bc $( \begin{array}{cc}\mathrm{d}& -\mathrm{b}\\ -\mathrm{c}& \mathrm{a}\end{array} )$$( \begin{array}{cc}\mathrm{a}& \mathrm{b}\\ \mathrm{c}& \mathrm{d}\end{array} )$ =  ¹_ad − bc $( \begin{array}{cc}\text{da}-\text{bc}& \text{db}-\text{bd}\\ -\text{ca}+\text{ac}& -\text{bc}+\text{ad}\end{array} )$  =  E₂

¹_ad − bc $( \begin{array}{cc}\mathrm{a}& \mathrm{b}\\ \mathrm{c}& \mathrm{d}\end{array} )$$( \begin{array}{cc}\mathrm{d}& -\mathrm{b}\\ -\mathrm{c}& \mathrm{a}\end{array} )$ =  ¹_ad − bc $( \begin{array}{cc}\text{ad}-\text{bc}& -\text{ab}+\text{ba}\\ \text{cd}-\text{dc}& -\text{cb}+\text{da}\end{array} )$  =  E₂

Dies zeigt die Behauptung.

zu (2):

Es gelte ad − bc = 0. Der Betrag von ad − bc ist nach einer früheren Übung der Flächeninhalt des von (a, c) und (b, d) aufgespannten Parallelogramms. Ist dieser Inhalt gleich 0, so sind die Spaltenvektoren von A linear abhängig. Damit ist A singulär. Dies ergibt sich aus den Invertierbarkeitskriterien oder direkt:

Ist A = (v; λv) und B = (u, w) beliebig, so ist die zweite Spalte von BA das λ-Fache der ersten, sodass BA ≠ E₂. Analoges gilt für A = (λv; v).

zu (2), zweites Argument: 

Es gilt

0  =  a d  −  b c  =  〈 (a, b), (d, −c) 〉  =  〈 (a, b), rot_−π/2(c, d) 〉

Damit sind (a, b) und rot_−π/2(c, d) orthogonal. Also sind (a, b) und (c, d) kollinear. Dies zeigt, dass A singulär ist.

zu (2), drittes Argument:

Die Aussage ist klar für a = c = 0, da dann A eine Nullspalte enthält. Wir nehmen also an, dass a ≠ 0 oder c ≠ 0. Ist a ≠ 0, so liefert der erste Schritt des Invertierungsverfahrens die Matrix

A₁  =  $( \begin{array}{cc}\mathrm{a}& \mathrm{b}\\ 0& \mathrm{d}-\text{bc}/\mathrm{a}\end{array} )$

(Subtraktion des λ-Fachen der ersten Zeile von der zweiten mit λ = c/a).

Wegen ad − bc = 0 ist d − bc/a = 0, sodass A₁ eine Nullzeile enthält. Damit ist A singulär. Eine analoge Argumentation zeigt die Aussage im Fall c ≠ 0 (Subtraktion des λ-Fachen der zweiten Zeile von der ersten mit λ = a/c).

zu (2), viertes Argument:  Die Aussage ist klar für A = 0. Wir dürfen also annehmen, dass A einen von Null verschiedenen Eintrag besitzt. Ohne Einschränkung sei a ≠ 0 (die anderen Fälle sind analog). Dann gibt es ein λ  ∈  ℝ mit b = λa. Wegen ad − bc = 0 gilt ad − λac = 0, sodass a (d − λc) = 0. Wegen a ≠ 0 ist d − λc = 0, sodass d = λc. Damit ist (b, d) = λ (a, c). Als Matrix mit linear abhängigen Spalten ist A singulär.

Anwendung: 

Für die komplexe Matrix

A  =  $( \begin{array}{cc}\mathrm{i}& 1\\ 1+\mathrm{i}& 1\end{array} )$  ∈  ℂ^2 × 2

erhalten wir

A⁻¹  =  ¹_{i − (1 + i)} $( \begin{array}{cc}1& -1\\ -1-\mathrm{i}& \mathrm{i}\end{array} )$ =  $( \begin{array}{cc}-1& 1\\ 1+\mathrm{i}& -\mathrm{i}\end{array} )$

in Übereinstimmung mit der Berechnung mit Hilfe des Invertierungsverfahrens.

zu (a):  Wir definieren B als die (n × n)-Matrix mit:

Wir definieren C als die (n × n)-Matrix mit:

Kurz: Die Matrizen B und C entstehen aus der Einheitsmatrix E_n, indem wir den Eintrag von E_n an der Stelle i,i bzw. i,j durch λ ersetzen.

zu (b): Für n = 5, i = 2 und j = 5 erhalten wir

B  =  $( \begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& \mathrm{\lambda }& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array} )$,  C  =  $( \begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& \mathrm{\lambda }\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array} )$

zu (c): Für die Multiplikation mit B, C von rechts gilt:

Wir erhalten hier also elementare Spaltenoperationen. In C sind die Rollen von i und j vertauscht.